**Chứng minh rằng trong bất kỳ đa giác lồi nào với n cạnh (n ≥ 3), tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác không bao giờ nhỏ hơn n-2 lần diện tích của đa g...

Để chứng minh rằng trong bất kỳ đa giác lồi nào với n cạnh (n ≥ 3), tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác không bao giờ nhỏ hơn n-2 lần diện tích của đa giác ban đầu, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia đa giác thành các tam giác Ta chia đa giác lồi n cạnh thành n-2 tam giác bằng cách nối các đỉnh của đa giác với một đỉnh cố định. Gọi diện tích của đa giác là S và diện tích của các tam giác này lần lượt là $$. Bước 2: Xác định số lượng tam giác Số lượng tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác là $$. Bước 3: Tính tổng diện tích của tất cả các tam giác Tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác là: $$ Bước 4: So sánh tổng diện tích các tam giác với diện tích đa giác Ta cần chứng minh rằng: $$ Bước 5: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp - Bước cơ sở: Với n = 3, đa giác là tam giác. Số lượng tam giác tạo thành là 1, diện tích tam giác đó chính là diện tích của đa giác ban đầu. Vậy: $$ Điều này đúng vì $$. - Bước quy nạp: Giả sử điều này đúng cho đa giác n cạnh, tức là: $$ Ta cần chứng minh nó cũng đúng cho đa giác n+1 cạnh. Khi thêm một đỉnh mới, đa giác n+1 cạnh sẽ tạo ra thêm n tam giác mới từ đỉnh mới này. Diện tích của các tam giác này sẽ bù vào diện tích của đa giác ban đầu, do đó tổng diện tích các tam giác mới sẽ lớn hơn hoặc bằng diện tích của đa giác ban đầu cộng thêm diện tích của các tam giác mới tạo ra. Vì vậy, tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác n+1 cạnh sẽ là: $$ Điều này đúng vì $$. Kết luận Qua các bước trên, ta đã chứng minh rằng trong bất kỳ đa giác lồi nào với n cạnh (n ≥ 3), tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành từ các ba điểm khác nhau của đa giác không bao giờ nhỏ hơn n-2 lần diện tích của đa giác ban đầu.