trả lời đúng

Bài 1: 1. $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$ và $x + y = -77$ Ta có $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$. Điều này có nghĩa là $x$ và $y$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x}{4} = \frac{y}{7} \implies x = \frac{4}{7}y \] Thay vào phương trình $x + y = -77$: \[ \frac{4}{7}y + y = -77 \] \[ \frac{4y + 7y}{7} = -77 \] \[ \frac{11y}{7} = -77 \] \[ 11y = -77 \times 7 \] \[ 11y = -539 \] \[ y = -49 \] Thay $y = -49$ vào $x = \frac{4}{7}y$: \[ x = \frac{4}{7} \times (-49) = -28 \] Vậy $x = -28$ và $y = -49$. 2. $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ và $x^2 + y^2 = 58$ Ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$. Điều này có nghĩa là $x$ và $y$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x}{3} = \frac{y}{7} \implies x = \frac{3}{7}y \] Thay vào phương trình $x^2 + y^2 = 58$: \[ \left( \frac{3}{7}y \right)^2 + y^2 = 58 \] \[ \frac{9}{49}y^2 + y^2 = 58 \] \[ \frac{9y^2 + 49y^2}{49} = 58 \] \[ \frac{58y^2}{49} = 58 \] \[ 58y^2 = 58 \times 49 \] \[ y^2 = 49 \] \[ y = 7 \text{ hoặc } y = -7 \] Thay $y = 7$ vào $x = \frac{3}{7}y$: \[ x = \frac{3}{7} \times 7 = 3 \] Thay $y = -7$ vào $x = \frac{3}{7}y$: \[ x = \frac{3}{7} \times (-7) = -3 \] Vậy $(x, y) = (3, 7)$ hoặc $(x, y) = (-3, -7)$. 3. $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{10}$ và $x + y + z = 60$ Ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{10}$. Điều này có nghĩa là $x$, $y$, và $z$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{10} = k \] \[ x = 3k, \quad y = 7k, \quad z = 10k \] Thay vào phương trình $x + y + z = 60$: \[ 3k + 7k + 10k = 60 \] \[ 20k = 60 \] \[ k = 3 \] Vậy $x = 3 \times 3 = 9$, $y = 7 \times 3 = 21$, $z = 10 \times 3 = 30$. Vậy $x = 9$, $y = 21$, $z = 30$. 4. $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$, $\frac{x}{6} = \frac{z}{5}$ và $x + y - z = 15$ Ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$. Điều này có nghĩa là $x$ và $y$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x}{3} = \frac{y}{2} \implies x = \frac{3}{2}y \] Ta cũng có $\frac{x}{6} = \frac{z}{5}$. Điều này có nghĩa là $x$ và $z$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x}{6} = \frac{z}{5} \implies x = \frac{6}{5}z \] Thay $x = \frac{3}{2}y$ vào $x = \frac{6}{5}z$: \[ \frac{3}{2}y = \frac{6}{5}z \] \[ 15y = 12z \] \[ y = \frac{4}{5}z \] Thay $x = \frac{6}{5}z$ và $y = \frac{4}{5}z$ vào phương trình $x + y - z = 15$: \[ \frac{6}{5}z + \frac{4}{5}z - z = 15 \] \[ \frac{6z + 4z - 5z}{5} = 15 \] \[ \frac{5z}{5} = 15 \] \[ z = 15 \] Thay $z = 15$ vào $x = \frac{6}{5}z$: \[ x = \frac{6}{5} \times 15 = 18 \] Thay $z = 15$ vào $y = \frac{4}{5}z$: \[ y = \frac{4}{5} \times 15 = 12 \] Vậy $x = 18$, $y = 12$, $z = 15$. 5. $2x = 6y = 5z$ và $x - y - z = 20$ Ta có $2x = 6y = 5z$. Điều này có nghĩa là $x$, $y$, và $z$ có tỷ lệ như sau: \[ 2x = 6y \implies x = 3y \] \[ 2x = 5z \implies x = \frac{5}{2}z \] Thay $x = 3y$ vào $x = \frac{5}{2}z$: \[ 3y = \frac{5}{2}z \] \[ 6y = 5z \] \[ y = \frac{5}{6}z \] Thay $x = 3y$ và $y = \frac{5}{6}z$ vào phương trình $x - y - z = 20$: \[ 3y - y - z = 20 \] \[ 2y - z = 20 \] \[ 2 \left( \frac{5}{6}z \right) - z = 20 \] \[ \frac{10}{6}z - z = 20 \] \[ \frac{10z - 6z}{6} = 20 \] \[ \frac{4z}{6} = 20 \] \[ \frac{2z}{3} = 20 \] \[ 2z = 60 \] \[ z = 30 \] Thay $z = 30$ vào $y = \frac{5}{6}z$: \[ y = \frac{5}{6} \times 30 = 25 \] Thay $y = 25$ vào $x = 3y$: \[ x = 3 \times 25 = 75 \] Vậy $x = 75$, $y = 25$, $z = 30$. 6. $\frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z+3}{5}$ và $x + y = 18$ Ta có $\frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z+3}{5}$. Điều này có nghĩa là $x+1$, $y+2$, và $z+3$ có tỷ lệ như sau: \[ \frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z+3}{5} = k \] \[ x + 1 = 3k, \quad y + 2 = 4k, \quad z + 3 = 5k \] \[ x = 3k - 1, \quad y = 4k - 2, \quad z = 5k - 3 \] Thay vào phương trình $x + y = 18$: \[ (3k - 1) + (4k - 2) = 18 \] \[ 7k - 3 = 18 \] \[ 7k = 21 \] \[ k = 3 \] Vậy $x = 3 \times 3 - 1 = 8$, $y = 4 \times 3 - 2 = 10$, $z = 5 \times 3 - 3 = 12$. Vậy $x = 8$, $y = 10$, $z = 12$. Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch. Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa số máy cày và thời gian làm việc. - Số máy cày càng nhiều thì thời gian hoàn thành công việc càng ít (tỷ lệ nghịch). - Số máy cày càng ít thì thời gian hoàn thành công việc càng nhiều (tỷ lệ nghịch). Bước 2: Xác định thời gian làm việc của 1 máy cày. - 3 máy cày làm việc trong 8 giờ để hoàn thành công việc. - Vậy 1 máy cày sẽ mất số giờ là: \( 3 \times 8 = 24 \) giờ. Bước 3: Xác định thời gian làm việc của 4 máy cày. - 4 máy cày sẽ hoàn thành công việc trong số giờ là: \( \frac{24}{4} = 6 \) giờ. Vậy, 4 máy cày cùng năng suất làm việc trên cánh đồng đó thì hết 6 giờ. Bài 3. Tổng số phần bằng nhau là: \[ 8 + 6 + 3 = 17 \] Số HSG của lớp 7A là: \[ \frac{8}{17} \times 51 = 24 \text{ HS} \] Số HSG của lớp 7B là: \[ \frac{6}{17} \times 51 = 18 \text{ HS} \] Số HSG của lớp 7C là: \[ \frac{3}{17} \times 51 = 9 \text{ HS} \] Đáp số: - Lớp 7A: 24 HS - Lớp 7B: 18 HS - Lớp 7C: 9 HS Bài 4. Gọi vận tốc của xe tải là \( v_{\text{tải}} \), xe con là \( v_{\text{con}} \) và xe máy là \( v_{\text{máy}} \). Biết rằng: - \( v_{\text{tải}} = 50 \) km/h - \( v_{\text{con}} = 40 \) km/h Xe con đến B trước xe tải 30 phút, tức là 0,5 giờ. Ta có công thức thời gian = quãng đường : vận tốc. Gọi thời gian xe tải đi từ A đến B là \( t_{\text{tải}} \) (giờ), thời gian xe con đi từ A đến B là \( t_{\text{con}} \) (giờ). Theo đề bài, ta có: \[ t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 0,5 \] Quãng đường từ A đến B là \( d \) (km). Ta có: \[ d = v_{\text{tải}} \times t_{\text{tải}} \] \[ d = v_{\text{con}} \times t_{\text{con}} \] Do đó: \[ 50 \times t_{\text{tải}} = 40 \times t_{\text{con}} \] Thay \( t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 0,5 \) vào phương trình trên: \[ 50 \times (t_{\text{con}} + 0,5) = 40 \times t_{\text{con}} \] Phân phối: \[ 50 \times t_{\text{con}} + 25 = 40 \times t_{\text{con}} \] Rearrange để giải \( t_{\text{con}} \): \[ 50 \times t_{\text{con}} - 40 \times t_{\text{con}} = -25 \] \[ 10 \times t_{\text{con}} = 25 \] \[ t_{\text{con}} = \frac{25}{10} \] \[ t_{\text{con}} = 2,5 \text{ giờ} \] Thời gian xe tải đi từ A đến B: \[ t_{\text{tải}} = t_{\text{con}} + 0,5 \] \[ t_{\text{tải}} = 2,5 + 0,5 \] \[ t_{\text{tải}} = 3 \text{ giờ} \] Vậy thời gian đi từ A đến B của xe con là 2,5 giờ và của xe tải là 3 giờ. Bài 5. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có góc B = 55°. Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên góc C sẽ là: \[ \widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \] Trong tam giác ABC, ta có các góc: - \(\widehat{A} = 90^\circ\) - \(\widehat{B} = 55^\circ\) - \(\widehat{C} = 35^\circ\) Theo tính chất của tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ dài hơn. Do đó: - Cạnh BC là cạnh huyền, tức là cạnh đối diện với góc vuông 90°, nên cạnh BC là cạnh dài nhất. - Cạnh AC là cạnh đối diện với góc 55°, nên cạnh AC sẽ dài hơn cạnh AB. - Cạnh AB là cạnh đối diện với góc 35°, nên cạnh AB là cạnh ngắn nhất. Tóm lại, ta có: \[ BC > AC > AB \] Bài 6. a) Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}=30^\circ$ (vì AD là phân giác của $\widehat{BAC}$) $\widehat{ABD}=\widehat{AED}=90^\circ$ (vì $DE\perp AC)$ $AD$ là cạnh chung $\Rightarrow \Delta ABD=\Delta AED$ (góc - cạnh - góc) b) Ta có $\widehat{BAE}=60^\circ$ (vì $\widehat{BAC}=60^\circ)$ $\widehat{AEB}=90^\circ$ (vì $DE\perp AC)$ $\Rightarrow \widehat{ABE}=30^\circ$ (vì tổng 3 góc trong tam giác bằng $180^\circ)$ $\Rightarrow \Delta ABE$ là tam giác vuông cân tại E. c) Ta có $\widehat{FAD}=\widehat{FDA}=30^\circ$ (vì $\Delta ABD=\Delta AED)$ $\Rightarrow \widehat{AFD}=120^\circ$ (vì tổng 3 góc trong tam giác bằng $180^\circ)$ $\Rightarrow \widehat{DFC}=60^\circ$ (hai góc kề bù) Ta có $\widehat{DCF}=30^\circ$ (vì $\Delta ABE$ là tam giác vuông cân tại E) $\Rightarrow \widehat{CFD}=90^\circ$ (vì tổng 3 góc trong tam giác bằng $180^\circ)$ $\Rightarrow \widehat{MDF}=90^\circ$ (vì M là trung điểm của FC) $\Rightarrow \widehat{ADM}=90^\circ$ $\Rightarrow 3$ điểm A, D, M thẳng hàng. Bài 7. a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại A, nên $AB=AC$. Lại có D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB, nên $AD=AE$. Do đó, $\Delta ABD=\Delta ACE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Từ đó suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$. Mà $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$ là hai góc ở vị trí so le trong, nên $BD//CE$. Vì G là giao điểm của BD và CE, nên G cũng là trọng tâm của $\Delta ABC$. Do đó, AG là đường trung tuyến của $\Delta ABC$, và H là trung điểm của BC. Vậy $AH\bot BC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại A, nên đường trung tuyến hạ từ đỉnh A cũng là đường cao hạ từ đỉnh A). b) Ta có T và K lần lượt là trung điểm của GA và GC, nên TK là đường trung bình của $\Delta AGC$. Vậy $TK//AC$. Mặt khác, ta có $BD//CE$ (chứng minh ở phần a), nên $BD//TK$. Vậy AK, BD và CE đồng quy (theo định lý Desargues).