Bài 1:
1. và
Ta có . Điều này có nghĩa là và có tỷ lệ như sau:
Thay vào phương trình :
Thay vào :
Vậy và .
2. và
Ta có . Điều này có nghĩa là và có tỷ lệ như sau:
Thay vào phương trình :
Thay vào :
Thay vào :
Vậy hoặc .
3. và
Ta có . Điều này có nghĩa là , , và có tỷ lệ như sau:
Thay vào phương trình :
Vậy , , .
Vậy , , .
4. , và
Ta có . Điều này có nghĩa là và có tỷ lệ như sau:
Ta cũng có . Điều này có nghĩa là và có tỷ lệ như sau:
Thay vào :
Thay và vào phương trình :
Thay vào :
Thay vào :
Vậy , , .
5. và
Ta có . Điều này có nghĩa là , , và có tỷ lệ như sau:
Thay vào :
Thay và vào phương trình :
Thay vào :
Thay vào :
Vậy , , .
6. và
Ta có . Điều này có nghĩa là , , và có tỷ lệ như sau:
Thay vào phương trình :
Vậy , , .
Vậy , , .
Bài 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch.
Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa số máy cày và thời gian làm việc.
- Số máy cày càng nhiều thì thời gian hoàn thành công việc càng ít (tỷ lệ nghịch).
- Số máy cày càng ít thì thời gian hoàn thành công việc càng nhiều (tỷ lệ nghịch).
Bước 2: Xác định thời gian làm việc của 1 máy cày.
- 3 máy cày làm việc trong 8 giờ để hoàn thành công việc.
- Vậy 1 máy cày sẽ mất số giờ là: giờ.
Bước 3: Xác định thời gian làm việc của 4 máy cày.
- 4 máy cày sẽ hoàn thành công việc trong số giờ là: giờ.
Vậy, 4 máy cày cùng năng suất làm việc trên cánh đồng đó thì hết 6 giờ.
Bài 3.
Tổng số phần bằng nhau là:
Số HSG của lớp 7A là:
Số HSG của lớp 7B là:
Số HSG của lớp 7C là:
Đáp số:
- Lớp 7A: 24 HS
- Lớp 7B: 18 HS
- Lớp 7C: 9 HS
Bài 4.
Gọi vận tốc của xe tải là , xe con là và xe máy là .
Biết rằng:
- km/h
- km/h
Xe con đến B trước xe tải 30 phút, tức là 0,5 giờ.
Ta có công thức thời gian = quãng đường : vận tốc.
Gọi thời gian xe tải đi từ A đến B là (giờ), thời gian xe con đi từ A đến B là (giờ).
Theo đề bài, ta có:
Quãng đường từ A đến B là (km).
Ta có:
Do đó:
Thay vào phương trình trên:
Phân phối:
Rearrange để giải :
Thời gian xe tải đi từ A đến B:
Vậy thời gian đi từ A đến B của xe con là 2,5 giờ và của xe tải là 3 giờ.
Bài 5.
Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có góc B = 55°. Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên góc C sẽ là:
Trong tam giác ABC, ta có các góc:
-
-
-
Theo tính chất của tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ dài hơn. Do đó:
- Cạnh BC là cạnh huyền, tức là cạnh đối diện với góc vuông 90°, nên cạnh BC là cạnh dài nhất.
- Cạnh AC là cạnh đối diện với góc 55°, nên cạnh AC sẽ dài hơn cạnh AB.
- Cạnh AB là cạnh đối diện với góc 35°, nên cạnh AB là cạnh ngắn nhất.
Tóm lại, ta có:
Bài 6.
a) Ta có (vì AD là phân giác của )
(vì
là cạnh chung
(góc - cạnh - góc)
b) Ta có (vì
(vì
(vì tổng 3 góc trong tam giác bằng
là tam giác vuông cân tại E.
c) Ta có (vì
(vì tổng 3 góc trong tam giác bằng
(hai góc kề bù)
Ta có (vì là tam giác vuông cân tại E)
(vì tổng 3 góc trong tam giác bằng
(vì M là trung điểm của FC)
điểm A, D, M thẳng hàng.
Bài 7.
a) Ta có cân tại A, nên .
Lại có D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB, nên .
Do đó, (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Từ đó suy ra .
Mà và là hai góc ở vị trí so le trong, nên .
Vì G là giao điểm của BD và CE, nên G cũng là trọng tâm của .
Do đó, AG là đường trung tuyến của , và H là trung điểm của BC.
Vậy (vì cân tại A, nên đường trung tuyến hạ từ đỉnh A cũng là đường cao hạ từ đỉnh A).
b) Ta có T và K lần lượt là trung điểm của GA và GC, nên TK là đường trung bình của .
Vậy .
Mặt khác, ta có (chứng minh ở phần a), nên .
Vậy AK, BD và CE đồng quy (theo định lý Desargues).