giúp với ạ

Bài 10 Để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta sẽ làm từng trường hợp như sau: Trường hợp a) $A(2;0), B(0;-3), C(5;-3)$ 1. Tìm trung điểm của AB và AC: - Trung điểm của AB: $M_{AB} = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{0-3}{2}\right) = (1, -1.5)$ - Trung điểm của AC: $M_{AC} = \left(\frac{2+5}{2}, \frac{0-3}{2}\right) = (3.5, -1.5)$ 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB và AC: - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AB} và vuông góc với AB: - Đạo hàm của AB: $\frac{-3-0}{0-2} = \frac{3}{2}$ - Đường thẳng vuông góc với AB có dạng: $y + 1.5 = -\frac{2}{3}(x - 1)$ - Sắp xếp lại: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - 1.5 = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$ - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AC} và vuông góc với AC: - Đạo hàm của AC: $\frac{-3-0}{5-2} = -1$ - Đường thẳng vuông góc với AC có dạng: $y + 1.5 = x - 3.5$ - Sắp xếp lại: $y = x - 5$ 3. Giải hệ phương trình để tìm tâm đường tròn: - $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$ - $y = x - 5$ Thay $y = x - 5$ vào phương trình đầu tiên: $x - 5 = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}$ $x + \frac{2}{3}x = 5 - \frac{1}{2}$ $\frac{5}{3}x = \frac{9}{2}$ $x = \frac{9}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{27}{10} = 2.7$ Thay $x = 2.7$ vào $y = x - 5$: $y = 2.7 - 5 = -2.3$ Vậy tâm đường tròn là $(2.7, -2.3)$. 4. Tính bán kính R: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác, ví dụ đỉnh A: $R = \sqrt{(2.7 - 2)^2 + (-2.3 - 0)^2} = \sqrt{0.7^2 + 2.3^2} = \sqrt{0.49 + 5.29} = \sqrt{5.78} \approx 2.4$ 5. Phương trình đường tròn: $(x - 2.7)^2 + (y + 2.3)^2 = 2.4^2$ Trường hợp b) $A(5;3), B(6;2), C(3;-1)$ 1. Tìm trung điểm của AB và AC: - Trung điểm của AB: $M_{AB} = \left(\frac{5+6}{2}, \frac{3+2}{2}\right) = (5.5, 2.5)$ - Trung điểm của AC: $M_{AC} = \left(\frac{5+3}{2}, \frac{3-1}{2}\right) = (4, 1)$ 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB và AC: - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AB} và vuông góc với AB: - Đạo hàm của AB: $\frac{2-3}{6-5} = -1$ - Đường thẳng vuông góc với AB có dạng: $y - 2.5 = x - 5.5$ - Sắp xếp lại: $y = x - 3$ - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AC} và vuông góc với AC: - Đạo hàm của AC: $\frac{-1-3}{3-5} = 2$ - Đường thẳng vuông góc với AC có dạng: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$ - Sắp xếp lại: $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 3. Giải hệ phương trình để tìm tâm đường tròn: - $y = x - 3$ - $y = -\frac{1}{2}x + 3$ Thay $y = x - 3$ vào phương trình thứ hai: $x - 3 = -\frac{1}{2}x + 3$ $x + \frac{1}{2}x = 6$ $\frac{3}{2}x = 6$ $x = 4$ Thay $x = 4$ vào $y = x - 3$: $y = 4 - 3 = 1$ Vậy tâm đường tròn là $(4, 1)$. 4. Tính bán kính R: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác, ví dụ đỉnh A: $R = \sqrt{(4 - 5)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ 5. Phương trình đường tròn: $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 5$ Trường hợp c) $A(1;2), B(3;1), C(-3;-1)$ 1. Tìm trung điểm của AB và AC: - Trung điểm của AB: $M_{AB} = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+1}{2}\right) = (2, 1.5)$ - Trung điểm của AC: $M_{AC} = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (-1, 0.5)$ 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB và AC: - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AB} và vuông góc với AB: - Đạo hàm của AB: $\frac{1-2}{3-1} = -0.5$ - Đường thẳng vuông góc với AB có dạng: $y - 1.5 = 2(x - 2)$ - Sắp xếp lại: $y = 2x - 2.5$ - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AC} và vuông góc với AC: - Đạo hàm của AC: $\frac{-1-2}{-3-1} = 0.75$ - Đường thẳng vuông góc với AC có dạng: $y - 0.5 = -\frac{4}{3}(x + 1)$ - Sắp xếp lại: $y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ 3. Giải hệ phương trình để tìm tâm đường tròn: - $y = 2x - 2.5$ - $y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ Thay $y = 2x - 2.5$ vào phương trình thứ hai: $2x - 2.5 = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ $2x + \frac{4}{3}x = 2.5 - \frac{1}{3}$ $\frac{10}{3}x = \frac{7}{3}$ $x = \frac{7}{10} = 0.7$ Thay $x = 0.7$ vào $y = 2x - 2.5$: $y = 2(0.7) - 2.5 = 1.4 - 2.5 = -1.1$ Vậy tâm đường tròn là $(0.7, -1.1)$. 4. Tính bán kính R: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác, ví dụ đỉnh A: $R = \sqrt{(0.7 - 1)^2 + (-1.1 - 2)^2} = \sqrt{0.09 + 9.61} = \sqrt{9.7}$ 5. Phương trình đường tròn: $(x - 0.7)^2 + (y + 1.1)^2 = 9.7$ Trường hợp d) $A(-1;-7), B(-4;-3), C \equiv O(0;0)$ 1. Tìm trung điểm của AB và AC: - Trung điểm của AB: $M_{AB} = \left(\frac{-1-4}{2}, \frac{-7-3}{2}\right) = (-2.5, -5)$ - Trung điểm của AC: $M_{AC} = \left(\frac{-1+0}{2}, \frac{-7+0}{2}\right) = (-0.5, -3.5)$ 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB và AC: - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AB} và vuông góc với AB: - Đạo hàm của AB: $\frac{-3+7}{-4+1} = -\frac{4}{3}$ - Đường thẳng vuông góc với AB có dạng: $y + 5 = \frac{3}{4}(x + 2.5)$ - Sắp xếp lại: $y = \frac{3}{4}x - 2.875$ - Phương trình đường thẳng đi qua M_{AC} và vuông góc với AC: - Đạo hàm của AC: $\frac{0+7}{0+1} = 7$ - Đường thẳng vuông góc với AC có dạng: $y + 3.5 = -\frac{1}{7}(x + 0.5)$ - Sắp xếp lại: $y = -\frac{1}{7}x - 3.642857$ 3. Giải hệ phương trình để tìm tâm đường tròn: - $y = \frac{3}{4}x - 2.875$ - $y = -\frac{1}{7}x - 3.642857$ Thay $y = \frac{3}{4}x - 2.875$ vào phương trình thứ hai: $\frac{3}{4}x - 2.875 = -\frac{1}{7}x - 3.642857$ $\frac{3}{4}x + \frac{1}{7}x = 2.875 - 3.642857$ $\frac{25}{28}x = -0.767857$ $x = -0.767857 \times \frac{28}{25} = -0.875$ Thay $x = -0.875$ vào $y = \frac{3}{4}x - 2.875$: $y = \frac{3}{4}(-0.875) - 2.875 = -0.65625 - 2.875 = -3.53125$ Vậy tâm đường tròn là $(-0.875, -3.53125)$. 4. Tính bán kính R: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm đến một đỉnh của tam giác, ví dụ đỉnh A: $R = \sqrt{(-0.875 + 1)^2 + (-3.53125 + 7)^2} = \sqrt{0.125^2 + 3.46875^2} = \sqrt{0.015625 + 12.02734375} = \sqrt{12.043}$ 5. Phương trình đường tròn: $(x + 0.875)^2 + (y + 3.53125)^2 = 12.043$ Kết luận: - Trường hợp a): $(x - 2.7)^2 + (y + 2.3)^2 = 2.4^2$ - Trường hợp b): $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 5$ - Trường hợp c): $(x - 0.7)^2 + (y + 1.1)^2 = 9.7$ - Trường hợp d): $(x + 0.875)^2 + (y + 3.53125)^2 = 12.043$