ytdfhhgfghgddhjh

Câu 21. Công thức tính tổ hợp \( C^n_k \) là: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Trong đó: - \( n! \) là giai thừa của \( n \). - \( k! \) là giai thừa của \( k \). - \( (n-k)! \) là giai thừa của \( n-k \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Đáp án: B. \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) Câu 22. Để xác định biểu thức nào là tam thức bậc hai, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức theo định nghĩa của tam thức bậc hai. Một tam thức bậc hai có dạng tổng của ba hạng tử, trong đó có một hạng tử chứa biến số nâng lên lũy thừa 2, một hạng tử chứa biến số nâng lên lũy thừa 1 và một hạng tử là hằng số. A. $7x - x^2 + 5$ - Biểu thức này có dạng tổng của ba hạng tử: $-x^2$, $7x$ và $5$. - Hạng tử $-x^2$ có biến số $x$ nâng lên lũy thừa 2. - Hạng tử $7x$ có biến số $x$ nâng lên lũy thừa 1. - Hạng tử $5$ là hằng số. - Vậy biểu thức này là tam thức bậc hai. B. $(x^2 - 2x + 3)^2$ - Biểu thức này là bình phương của một tam thức bậc hai, do đó nó sẽ trở thành một đa thức bậc bốn khi mở ngoặc. - Vì vậy, biểu thức này không phải là tam thức bậc hai. C. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 1$ - Biểu thức này có dạng tổng của ba hạng tử: $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x}$ và $1$. - Tuy nhiên, các hạng tử $\frac{1}{x^2}$ và $\frac{1}{x}$ không phải là dạng biến số nâng lên lũy thừa 2 hoặc 1, mà là dạng phân thức. - Vì vậy, biểu thức này không phải là tam thức bậc hai. D. $0x^2 + 5x - 3$ - Biểu thức này có dạng tổng của ba hạng tử: $0x^2$, $5x$ và $-3$. - Hạng tử $0x^2$ là hằng số 0, không ảnh hưởng đến bậc của biểu thức. - Hạng tử $5x$ có biến số $x$ nâng lên lũy thừa 1. - Hạng tử $-3$ là hằng số. - Vì vậy, biểu thức này không phải là tam thức bậc hai vì không có hạng tử chứa biến số nâng lên lũy thừa 2. Kết luận: Biểu thức A ($7x - x^2 + 5$) là tam thức bậc hai. Câu 23. Để lập các số gồm 3 chữ số từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng trăm: Có 6 cách chọn (vì có 6 chữ số). - Chọn chữ số hàng chục: Có 5 cách chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng trăm, còn lại 5 chữ số). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 4 cách chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng trăm và hàng chục, còn lại 4 chữ số). Tổng số các số gồm 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó là: \[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \] Vậy đáp án đúng là B. 120. Câu 24. Để giải bất phương trình \(2x^2 + x - 6 > 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(2x^2 + x - 6 = 0\): Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 2\), \(b = 1\), và \(c = -6\), ta có: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] 2. Xác định dấu của biểu thức \(2x^2 + x - 6\) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm: Biểu thức \(2x^2 + x - 6\) là một parabol mở lên (vì hệ số \(a = 2 > 0\)). Do đó, biểu thức sẽ dương ở hai bên ngoài các nghiệm và âm giữa các nghiệm. Ta có các khoảng cần kiểm tra: - Khoảng \((-\infty, -2)\) - Khoảng \((-2, \frac{3}{2})\) - Khoảng \((\frac{3}{2}, +\infty)\) Để xác định dấu của biểu thức trong mỗi khoảng, ta chọn các giá trị đại diện từ mỗi khoảng: - Chọn \(x = -3\) trong khoảng \((-\infty, -2)\): \[ 2(-3)^2 + (-3) - 6 = 18 - 3 - 6 = 9 > 0 \] - Chọn \(x = 0\) trong khoảng \((-2, \frac{3}{2})\): \[ 2(0)^2 + 0 - 6 = -6 < 0 \] - Chọn \(x = 2\) trong khoảng \((\frac{3}{2}, +\infty)\): \[ 2(2)^2 + 2 - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 > 0 \] 3. Kết luận tập nghiệm của bất phương trình: Biểu thức \(2x^2 + x - 6\) dương ở các khoảng \((-\infty, -2)\) và \((\frac{3}{2}, +\infty)\). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \(2x^2 + x - 6 > 0\) là: \[ (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \] Vậy đáp án đúng là: B. \((-∞, -2) \cup (\frac{3}{2}, +∞)\). Câu 25. Để giải phương trình $\sqrt{3x+1}=5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình có căn thức, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0. - Điều kiện xác định là: $3x + 1 \geq 0$ - Giải bất phương trình này: \[ 3x + 1 \geq 0 \implies 3x \geq -1 \implies x \geq -\frac{1}{3} \] 2. Giải phương trình: - Ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn thức: \[ (\sqrt{3x+1})^2 = 5^2 \implies 3x + 1 = 25 \] - Giải phương trình này: \[ 3x + 1 = 25 \implies 3x = 24 \implies x = 8 \] 3. Kiểm tra nghiệm: - Thay $x = 8$ vào điều kiện xác định: \[ 8 \geq -\frac{1}{3} \quad \text{(đúng)} \] - Thay $x = 8$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ \sqrt{3(8) + 1} = \sqrt{24 + 1} = \sqrt{25} = 5 \quad \text{(đúng)} \] Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{8\}$. Đáp án đúng là: A. $S = \{8\}$. Câu 26. Để giải bất phương trình \(x^2 - 3x + 2 < 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan: Ta giải phương trình \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = 2\): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] 2. Phân tích dấu của biểu thức \(x^2 - 3x + 2\): Biểu thức \(x^2 - 3x + 2\) có dạng \(a(x - x_1)(x - x_2)\), trong đó \(a = 1\), \(x_1 = 1\), và \(x_2 = 2\). Do đó, ta có: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] Ta vẽ bảng xét dấu của biểu thức \((x - 1)(x - 2)\): | x | (-∞, 1) | 1 | (1, 2) | 2 | (2, +∞) | |:--------:|:-----------:|:-----:|:----------:|:-----:|:-----------:| | x - 1 | - | 0 | + | + | + | | x - 2 | - | - | - | 0 | + | | (x - 1)(x - 2) | + | 0 | - | 0 | + | 3. Xác định tập nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình \(x^2 - 3x + 2 < 0\) đúng khi biểu thức \((x - 1)(x - 2)\) âm. Từ bảng xét dấu, ta thấy \((x - 1)(x - 2)\) âm trong khoảng \((1, 2)\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 3x + 2 < 0\) là: \[ (1, 2) \] Đáp án đúng là: C. (1, 2) Câu 27. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là tổng số bóng đèn màu đỏ và bóng đèn màu xanh. Số tất cả các cách chọn một bóng đèn trong hộp là: 7 + 4 = 11 (cách) Đáp số: 11 cách Câu 28. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 3 nữ. Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp riêng lẻ: 3 nữ và 2 nam, 4 nữ và 1 nam, và 5 nữ. 1. Số cách chọn 3 nữ và 2 nam: - Số cách chọn 3 nữ từ 13 nữ: \( \binom{13}{3} \) - Số cách chọn 2 nam từ 35 nam: \( \binom{35}{2} \) Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ \binom{13}{3} \times \binom{35}{2} \] 2. Số cách chọn 4 nữ và 1 nam: - Số cách chọn 4 nữ từ 13 nữ: \( \binom{13}{4} \) - Số cách chọn 1 nam từ 35 nam: \( \binom{35}{1} \) Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ \binom{13}{4} \times \binom{35}{1} \] 3. Số cách chọn 5 nữ: - Số cách chọn 5 nữ từ 13 nữ: \( \binom{13}{5} \) Tổng số cách chọn trong trường hợp này: \[ \binom{13}{5} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán từng trường hợp cụ thể: 1. Tính \( \binom{13}{3} \): \[ \binom{13}{3} = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \] 2. Tính \( \binom{35}{2} \): \[ \binom{35}{2} = \frac{35!}{2!(35-2)!} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 595 \] 3. Tính \( \binom{13}{4} \): \[ \binom{13}{4} = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715 \] 4. Tính \( \binom{35}{1} \): \[ \binom{35}{1} = 35 \] 5. Tính \( \binom{13}{5} \): \[ \binom{13}{5} = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287 \] Tổng số cách chọn 5 học sinh với ít nhất 3 nữ: \[ 286 \times 595 + 715 \times 35 + 1287 \] Tính toán từng phần: \[ 286 \times 595 = 170170 \] \[ 715 \times 35 = 25025 \] \[ 170170 + 25025 + 1287 = 196482 \] Vậy, tổng số cách chọn là: \[ \boxed{196482} \] Đáp án đúng là: D. 196482 Câu 29. Để giải bất phương trình \(x^2 - 9x + 20 > 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \(x^2 - 9x + 20 = 0\): Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -9\), và \(c = 20\), ta có: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \] Do đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \] 2. Phân tích dấu của biểu thức \(x^2 - 9x + 20\): Biểu thức \(x^2 - 9x + 20\) là một parabol mở lên (vì hệ số \(a = 1 > 0\)). Do đó, biểu thức này sẽ dương ở hai khoảng cách xa hai nghiệm \(x = 4\) và \(x = 5\). 3. Xác định các khoảng thỏa mãn bất phương trình: Biểu thức \(x^2 - 9x + 20\) sẽ dương trong các khoảng: \[ x < 4 \quad \text{hoặc} \quad x > 5 \] 4. Viết tập nghiệm của bất phương trình: Tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 9x + 20 > 0\) là: \[ x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: C. \(x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)\) Đáp án: C. \(x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)\) Câu 30. Để giải bất phương trình \(x^2 - 8x + 15 < 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan: Ta giải phương trình \(x^2 - 8x + 15 = 0\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -8\), và \(c = 15\): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3 \] 2. Phân tích dấu của biểu thức \(x^2 - 8x + 15\): Biểu thức \(x^2 - 8x + 15\) là một parabol mở lên (vì hệ số \(a = 1 > 0\)). Nghiệm của phương trình là \(x = 3\) và \(x = 5\). Do đó, biểu thức sẽ âm giữa hai nghiệm này. 3. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: Biểu thức \(x^2 - 8x + 15\) sẽ nhỏ hơn 0 trong khoảng giữa hai nghiệm \(x = 3\) và \(x = 5\). Vậy nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 8x + 15 < 0\) là: \[ x \in (3, 5) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \(x \in (3, 5)\). Câu 31. Để xác định giá trị \( x = 2 \) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình đã cho, ta sẽ lần lượt thay \( x = 2 \) vào mỗi phương trình và kiểm tra xem liệu phương trình đó có đúng hay không. A. \( x + 2 = 2\sqrt{3x - 2} \) Thay \( x = 2 \): \[ 2 + 2 = 2\sqrt{3(2) - 2} \] \[ 4 = 2\sqrt{6 - 2} \] \[ 4 = 2\sqrt{4} \] \[ 4 = 2 \times 2 \] \[ 4 = 4 \] Phương trình này đúng khi \( x = 2 \). B. \( x - 1 = \sqrt{x - 3} \) Thay \( x = 2 \): \[ 2 - 1 = \sqrt{2 - 3} \] \[ 1 = \sqrt{-1} \] Phương trình này sai vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực. C. \( x + 2 = \sqrt{x - 1} \) Thay \( x = 2 \): \[ 2 + 2 = \sqrt{2 - 1} \] \[ 4 = \sqrt{1} \] \[ 4 = 1 \] Phương trình này sai. D. \( \sqrt{x^2 - x - 4} = \sqrt{x - 4} \) Thay \( x = 2 \): \[ \sqrt{2^2 - 2 - 4} = \sqrt{2 - 4} \] \[ \sqrt{4 - 2 - 4} = \sqrt{-2} \] \[ \sqrt{-2} = \sqrt{-2} \] Phương trình này sai vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực. Từ các phép tính trên, ta thấy rằng chỉ có phương trình A là đúng khi thay \( x = 2 \). Do đó, giá trị \( x = 2 \) là nghiệm của phương trình: \[ x + 2 = 2\sqrt{3x - 2} \] Đáp án đúng là: A. \( x + 2 = 2\sqrt{3x - 2} \) Câu 32. Để lập được các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, chúng ta sẽ thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng chục: Có 5 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 5). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 4 lựa chọn còn lại (vì chữ số hàng đơn vị phải khác chữ số hàng chục). Do đó, tổng số các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau là: \[ 5 \times 4 = 20 \] Vậy đáp án đúng là: D. 20. Câu 33. Để hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần đảm bảo rằng đồ thị của hàm số này nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi: 1. Hệ số $a$ phải dương ($a > 0$) để parabol mở lên. 2. Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, tức là $\Delta \leq 0$. Tuy nhiên, nếu $\Delta = 0$, hàm số sẽ có giá trị bằng 0 tại điểm cực tiểu, do đó không thỏa mãn điều kiện $f(x) > 0$ với mọi $x$. Vậy $\Delta$ phải nhỏ hơn 0 ($\Delta < 0$). Do đó, điều kiện để $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{array} \right.$ Câu 34. Để giải bất phương trình \(x^2 - 2x + 3 > 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét dấu của biểu thức \(x^2 - 2x + 3\): Ta cần kiểm tra xem biểu thức này có thể nhận giá trị âm hay không. Để làm điều này, ta tính delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai \(x^2 - 2x + 3 = 0\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(x^2 - 2x + 3 = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức \(x^2 - 2x + 3\) luôn dương hoặc luôn âm trên tập số thực. 2. Kiểm tra giá trị của biểu thức tại một điểm: Ta chọn \(x = 0\) để kiểm tra giá trị của biểu thức: \[ x^2 - 2x + 3 = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3 \] Vì \(3 > 0\), biểu thức \(x^2 - 2x + 3\) luôn dương trên tập số thực. 3. Kết luận: Vì biểu thức \(x^2 - 2x + 3\) luôn dương trên tập số thực, bất phương trình \(x^2 - 2x + 3 > 0\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 2x + 3 > 0\) là \(\mathbb{R}\). Đáp án đúng là: C. \(\mathbb{R}\). Câu 35. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp liệt kê và nhân các trường hợp có thể xảy ra. Bước 1: Xác định số chữ số và các chữ số có thể sử dụng. - Chúng ta cần lập số tự nhiên gồm 4 chữ số. - Các chữ số có thể sử dụng là 3, 5, 7, 8. Bước 2: Xác định số cách chọn cho mỗi chữ số trong số 4 chữ số. - Mỗi chữ số có thể chọn từ 4 chữ số đã cho (3, 5, 7, 8). Bước 3: Tính tổng số cách chọn. - Vì mỗi chữ số đều có 4 lựa chọn, nên tổng số cách chọn là: \[ 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256 \] Vậy, có 256 số tự nhiên gồm 4 chữ số được lập từ các chữ số 3, 5, 7, 8. Đáp án đúng là: D. 256.