hksjsbdnndnd

Câu 27: a) Xét vị trí hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: Phương trình đường thẳng $d_1$ là $7x + 5y + 8 = 0$, suy ra $y = -\frac{7}{5}x - \frac{8}{5}$. Phương trình đường thẳng $d_2$ là $9x - 3y - 4 = 0$, suy ra $y = 3x - \frac{4}{3}$. Ta thấy rằng hai đường thẳng này có các hệ số góc khác nhau ($-\frac{7}{5}$ và $3$), do đó chúng cắt nhau. b) Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$: Gọi góc giữa hai đường thẳng là $\theta$. Ta có công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2} \right| \] Trong đó, $m_1 = -\frac{7}{5}$ và $m_2 = 3$. Thay vào ta có: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{3 - (-\frac{7}{5})}{1 + (-\frac{7}{5}) \cdot 3} \right| = \left| \frac{3 + \frac{7}{5}}{1 - \frac{21}{5}} \right| = \left| \frac{\frac{15 + 7}{5}}{\frac{5 - 21}{5}} \right| = \left| \frac{\frac{22}{5}}{-\frac{16}{5}} \right| = \left| -\frac{22}{16} \right| = \frac{11}{8} \] Do đó, góc $\theta$ là: \[ \theta = \arctan\left(\frac{11}{8}\right) \] c) Tính khoảng cách từ điểm $M(2; -3)$ đến đường thẳng $9x - 3y - 4 = 0$: Công thức khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|9 \cdot 2 - 3 \cdot (-3) - 4|}{\sqrt{9^2 + (-3)^2}} = \frac{|18 + 9 - 4|}{\sqrt{81 + 9}} = \frac{|23|}{\sqrt{90}} = \frac{23}{3\sqrt{10}} = \frac{23\sqrt{10}}{30} \] d) Điểm $A(1; -3)$ thuộc đường thẳng nào? Thay tọa độ điểm $A(1; -3)$ vào phương trình của hai đường thẳng: - Với đường thẳng $d_1$: $7 \cdot 1 + 5 \cdot (-3) + 8 = 7 - 15 + 8 = 0$, nên điểm $A$ thuộc đường thẳng $d_1$. - Với đường thẳng $d_2$: $9 \cdot 1 - 3 \cdot (-3) - 4 = 9 + 9 - 4 = 14 \neq 0$, nên điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d_2$. Đáp số: a) Hai đường thẳng cắt nhau. b) Góc giữa hai đường thẳng là $\arctan\left(\frac{11}{8}\right)$. c) Khoảng cách từ điểm $M(2; -3)$ đến đường thẳng $9x - 3y - 4 = 0$ là $\frac{23\sqrt{10}}{30}$. d) Điểm $A(1; -3)$ thuộc đường thẳng $d_1$. Câu 28: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng biểu diễn chuyển động của vật thể là $\overrightarrow{v} = (1; 2)$. b) Phương trình chuyển động của vật thể M: - Tọa độ ban đầu của vật thể M là $A(5; 3)$. - Vectơ vận tốc là $\overrightarrow{v} = (1; 2)$. Phương trình chuyển động của vật thể M theo thời gian $t$ là: \[ \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \] c) Tọa độ của vật thể M tại thời điểm $t$: \[ \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \] d) Khi $t = 7$, vật thể M đã di chuyển được một quãng đường dài: - Tọa độ của vật thể M tại thời điểm $t = 7$ là: \[ \begin{cases} x = 5 + 7 = 12 \\ y = 3 + 2 \cdot 7 = 17 \end{cases} \] - Quãng đường vật thể M đã di chuyển là khoảng cách từ điểm $A(5; 3)$ đến điểm $(12; 17)$: \[ d = \sqrt{(12 - 5)^2 + (17 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \] Đáp số: a) Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{v} = (1; 2)$ b) Phương trình chuyển động: \[ \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \] c) Tọa độ của vật thể M tại thời điểm $t$: \[ \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \] d) Khi $t = 7$, vật thể M đã di chuyển được quãng đường dài: $7\sqrt{5}$