Giúp mình với!

Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các vectơ trong lục giác đều. 1. Tính chất của lục giác đều: - Lục giác đều có 6 cạnh bằng nhau và mỗi góc ở tâm là \(60^\circ\). - Các vectơ cạnh của lục giác đều có độ dài bằng nhau và tạo với nhau các góc \(60^\circ\). 2. Xét các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{FE}\): - Do lục giác đều có tâm O, các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{FE}\) là hai vectơ đối xứng qua tâm O. - Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{FE} = -\overrightarrow{AB}\). 3. Tính tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE}\): - Vì \(\overrightarrow{FE} = -\overrightarrow{AB}\), ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \] 4. Độ dài của vectơ tổng: - Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{0}\) là 0. Do đó, giá trị của \( |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE}| \) là 0. Tuy nhiên, trong các đáp án không có lựa chọn nào là 0, điều này có thể là do lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Theo phân tích trên, kết quả chính xác phải là 0. Câu 12: Để tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\), trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm A, B, C trong hệ tọa độ. Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0)\), điểm \(B\) có tọa độ \((3, 0)\) vì \(AB = 3\), và điểm \(C\) có tọa độ \((0, 4)\) vì \(AC = 4\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là \((3, 0)\) và vectơ \(\overrightarrow{AC}\) có tọa độ là \((0, 4)\). Tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) sẽ có tọa độ là: \[ (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) \] Độ dài của vectơ \((3, 4)\) được tính bằng công thức: \[ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) là 5. Do đó, đáp án đúng là D. 5. Câu 13: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\). 1. Xác định trung điểm O của AD: Vì O là trung điểm của AD, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] 2. Biểu diễn \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}\): Ta có: \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} \] 3. Tính \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\): \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}) \] Sử dụng \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \] 4. Tính độ dài của \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\): Vì AB song song với CD và có độ dài \(AB = 2\) và \(CD = 1\), nên: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} \] Độ dài của \(\overrightarrow{AC}\) là tổng độ dài của AB và CD: \[ |\overrightarrow{AC}| = AB + CD = 2 + 1 = 3 \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\) là 3. Do đó, đáp án đúng là D. 3. Câu 14: Để tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Đặt hệ trục tọa độ: - Giả sử \(A(0, 0)\), \(B(5, 0)\), \(C(5, 5)\), \(D(0, 5)\) là tọa độ các đỉnh của hình vuông \(ABCD\). 2. Gọi \(M(x, y)\) là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. 3. Biểu diễn các vectơ: - \(\overrightarrow{MA} = (x - 0, y - 0) = (x, y)\) - \(\overrightarrow{MB} = (x - 5, y - 0) = (x - 5, y)\) - \(\overrightarrow{MC} = (x - 5, y - 5) = (x - 5, y - 5)\) - \(\overrightarrow{MD} = (x - 0, y - 5) = (x, y - 5)\) 4. Tính toán biểu thức vectơ: \[ \overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} - 2\overrightarrow{MD} = (x, y) - 2(x - 5, y) + 3(x - 5, y - 5) - 2(x, y - 5) \] 5. Thực hiện phép tính: \[ = (x, y) - (2x - 10, 2y) + (3x - 15, 3y - 15) - (2x, 2y - 10) \] \[ = (x - 2x + 10 + 3x - 15 - 2x, y - 2y + 3y - 15 - 2y + 10) \] \[ = (0x - 5, 0y - 5) \] \[ = (-5, -5) \] 6. Tính độ dài của vectơ: \[ \text{Độ dài} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\) là \(5\sqrt{2}\). Đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~5\sqrt{2}\). Câu 15: Để tìm cường độ của lực tổng hợp khi hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tác động lên một vật, ta sử dụng quy tắc hình bình hành. Theo quy tắc này, lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ có cường độ được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Trong đó: - $F_1 = 60$N và $F_2 = 60$N là cường độ của hai lực. - $\theta = 60^\circ$ là góc hợp bởi hai lực. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ F = \sqrt{60^2 + 60^2 + 2 \times 60 \times 60 \times \cos 60^\circ} \] Biết rằng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, ta tiếp tục tính: \[ F = \sqrt{3600 + 3600 + 2 \times 60 \times 60 \times \frac{1}{2}} \] \[ F = \sqrt{3600 + 3600 + 3600} \] \[ F = \sqrt{10800} \] \[ F = \sqrt{3600 \times 3} \] \[ F = 60\sqrt{3} \] Vậy, cường độ của lực tổng hợp là $60\sqrt{3}$N. Do đó, đáp án đúng là $\textcircled{D.}~60\sqrt3.$ Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tổng hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. 1. Tính tổng hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: Hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ có cùng cường độ là 100N và hợp với nhau một góc $60^\circ$. Theo quy tắc hình bình hành, độ lớn của tổng hợp lực $\overrightarrow{F}$ được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(60^\circ)} \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ F = \sqrt{100^2 + 100^2 + 2 \times 100 \times 100 \times \cos(60^\circ)} \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta tiếp tục tính: \[ F = \sqrt{10000 + 10000 + 10000} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \] 2. Tìm cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$: Vì vật đứng yên, tổng hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ phải cân bằng với lực $\overrightarrow{F_3}$. Do đó, cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ phải bằng cường độ của tổng hợp lực $\overrightarrow{F}$. Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ là $100\sqrt{3}$. Đáp án: B. 100\sqrt{3}. Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ tổng $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}|$ trong tam giác đều $ABC$ có cạnh $a$. 1. Xác định các vectơ: - Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, do đó $AB = BC = CA = a$. - Đường cao $AH$ trong tam giác đều chia tam giác thành hai tam giác vuông cân, do đó $H$ là trung điểm của $BC$. 2. Tính độ dài $AH$: - Trong tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$ cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Do đó, $H$ là trung điểm của $BC$. - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $AHC$, ta có: \[ AH = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] 3. Tính $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}|$: - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có độ dài $a$. - Vectơ $\overrightarrow{AH}$ có độ dài $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AH}$ là $30^\circ$ (vì $AH$ là đường cao trong tam giác đều). Sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}| = \sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AH}|^2 + 2 \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AH}| \cdot \cos(30^\circ)}. \] Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}. \] Tính toán: \[ = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{2}} = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{6a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + \frac{9a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}. \] Vậy, $|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AH}| = \frac{a\sqrt{13}}{2}$. Do đó, đáp án đúng là $\textcircled{B.}~\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). 1. Xác định các vectơ: - Giả sử điểm \(A\) là gốc tọa độ, ta có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{v}\). - Độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) là \(a\) và độ dài của \(\overrightarrow{AC}\) là \(2a\). 2. Sử dụng định lý cosin để tính góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(\angle BAC = 120^\circ\). 3. Tính độ dài của \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\): - Sử dụng công thức tính độ dài của tổng hai vectơ: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 + 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos(\angle BAC)} \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(120^\circ)} \] - Tính \(\cos(120^\circ)\): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \] - Thay vào công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{a^2 + 4a^2 - 2a^2} \] \[ = \sqrt{3a^2} \] \[ = a\sqrt{3} \] Vậy, độ dài của \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|\) là \(a\sqrt{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~a\sqrt{3}\). Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ $|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}|$. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử điểm $D$ có tọa độ $(0, 0)$. - Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $3a$, nên tọa độ các điểm là: - $A(0, 3a)$ - $B(3a, 3a)$ - $C(3a, 0)$ - $D(0, 0)$ 2. Tìm tọa độ điểm $M$: - $M$ là trung điểm của $AB$, nên tọa độ của $M$ là: \[ M\left(\frac{0 + 3a}{2}, \frac{3a + 3a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, 3a\right) \] 3. Tìm tọa độ điểm $N$: - $N$ là điểm đối xứng của $C$ qua $D$, nên tọa độ của $N$ là: \[ N(-3a, 0) \] 4. Tính các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{DC}$: \[ \overrightarrow{DC} = (3a - 0, 0 - 0) = (3a, 0) \] - Vectơ $\overrightarrow{DM}$: \[ \overrightarrow{DM} = \left(\frac{3a}{2} - 0, 3a - 0\right) = \left(\frac{3a}{2}, 3a\right) \] 5. Tính tổng của hai vectơ: - $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}$: \[ \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM} = (3a, 0) + \left(\frac{3a}{2}, 3a\right) = \left(3a + \frac{3a}{2}, 3a\right) = \left(\frac{9a}{2}, 3a\right) \] 6. Tính độ dài của vectơ tổng: - Độ dài của $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}$ là: \[ \left|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}\right| = \sqrt{\left(\frac{9a}{2}\right)^2 + (3a)^2} = \sqrt{\frac{81a^2}{4} + 9a^2} \] \[ = \sqrt{\frac{81a^2}{4} + \frac{36a^2}{4}} = \sqrt{\frac{117a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{117}}{2} \] - Ta có $\sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}$, do đó: \[ \left|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}\right| = \frac{3a\sqrt{13}}{2} \] Vậy giá trị của $|\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DM}|$ là $\frac{3a\sqrt{13}}{2}$, chọn đáp án $C$.