So sánh A=1/101+1/102+...+1/199+1/200 với 1

Question

Accepted Answer

Để so sánh $ A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} $ với 1, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định số lượng các phân số trong biểu thức $ A $:
   Biểu thức $ A $ bao gồm các phân số từ $ \frac{1}{101} $ đến $ \frac{1}{200} $. Số lượng các phân số này là:
   $$
   200 - 101 + 1 = 100
   $$

2. Tìm giá trị trung bình của các phân số:
   Các phân số trong biểu thức $ A $ nằm giữa $ \frac{1}{101} $ và $ \frac{1}{200} $. Ta có thể ước lượng giá trị trung bình của chúng bằng cách lấy trung bình của hai phân số đầu và cuối:
   $$
   \text{Giá trị trung bình} \approx \frac{\frac{1}{101} + \frac{1}{200}}{2}
   $$
   Để dễ dàng hơn, ta có thể ước lượng giá trị trung bình này gần với $ \frac{1}{150} $.

3. Tính tổng của các phân số:
   Nếu mỗi phân số trong biểu thức $ A $ đều bằng $ \frac{1}{150} $, thì tổng của chúng sẽ là:
   $$
   100 \times \frac{1}{150} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}
   $$
   Do đó, $ A $ sẽ nhỏ hơn 1 vì $ \frac{2}{3} < 1 $.

4. Kiểm tra lại bằng cách so sánh từng phân số:
   Ta thấy rằng tất cả các phân số từ $ \frac{1}{101} $ đến $ \frac{1}{200} $ đều nhỏ hơn $ \frac{1}{100} $. Vì vậy, tổng của 100 phân số này sẽ nhỏ hơn:
   $$
   100 \times \frac{1}{100} = 1
   $$

Kết luận: $ A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \ldots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} $ nhỏ hơn 1.

Đáp số: $ A < 1 $