Câu hình khó

a.Xét ΔDAO và ΔOBC có:

$\widehat{DAO}=\widehat{OBC}(={90}^o)$

$\widehat{DOA}={180}^o-\widehat{DOC}-\widehat{COB}={90}^o-\widehat{COB}=\widehat{OCB}$

)$\to \mathrm{\Delta }ADO\sim \mathrm{\Delta }BOC(g.g)$

$\to {\displaystyle \frac{AD}{BO}}={\displaystyle \frac{DO}{CO}}$

$\to {\displaystyle \frac{AD}{AO}}={\displaystyle \frac{DO}{CO}}$

Mà $\widehat{DAO}=\widehat{DOC}(={90}^o)$

$\to \mathrm{\Delta }ADO\sim \mathrm{\Delta }ODC(c.g.c)$

$\to \widehat{ODA}=\widehat{ODC}$

Mà OH⊥DC,OA⊥DA

→OH=OA

Mà O là trung điểm $AB\to OH=OA=OB={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$

→ΔHAB vuông tại H

Ta có: $D{H}^2=D{O}^2-O{H}^2=D{O}^2-O{A}^2=D{A}^2\to DH=DA$

$\to {\displaystyle \frac{DH}{HO}}={\displaystyle \frac{DA}{OB}}$ vì $OH=OB,DH=DA$

Lại có:

$\widehat{ADH}={360}^o-\widehat{DHO}-\widehat{DAO}-\widehat{AOH}={180}^o-\widehat{AOH}=\widehat{HOB}$

→ΔADH∼ΔBOH(c.g.c)

2.Từ câu 1→DH=DA

Ta có:$\widehat{CHB}={180}^o-\widehat{AHB}-\widehat{DHA}={90}^o-\widehat{DHA}={90}^o-\widehat{HAD}=\widehat{HAB}={90}^o-\widehat{HBA}=\widehat{HBC}$

→ΔCBH cân tại C→CH=CB

Gọi HI∩AB=G

$\to {\displaystyle \frac{HI}{BC}}={\displaystyle \frac{DH}{DC}}={\displaystyle \frac{AG}{AB}}={\displaystyle \frac{GI}{BC}}$

→IH=IG

→I là trung điểm HG

Ta có: DH=DA,OH=OA→O,D∈ trung trực HA

→OD là trung trực AH

→OD⊥AH=E là trung điểm HA

Tương tự F là trung điểm HB

→IE,IF là đường trung bình ΔHGA,ΔHGB

→IE//GA,IF//GB

→IE//AB,IF//AB
→E,I,F thẳng hàng

3.Ta có:

$S_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot (AD+BC)={\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot (DH+HC)={\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot DC\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}AB\cdot AB={\displaystyle \frac{1}{2}}A{B}^2$

$\to GTN{N}_{S_{ABCD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}A{B}^2$

Dấu = xảy ra khi $DC=AB\to DABC$ là hình chữ nhật

→OH⊥AB vì OH⊥DC

→OHDA là hình vuông vì $DA\perp OA,OA=OH,\hat{D}={90}^o$

$\to AD=AO={\displaystyle \frac{1}{2}}AB=a$