Giúp e vs ạ

Câu 1: Theo nguyên lý nhân trong tổ hợp, nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện giai đoạn thứ hai, thì tổng số cách hoàn thành công việc là m × n. Do đó, đáp án đúng là: A. m × n. Lập luận từng bước: 1. Có m cách thực hiện hành động thứ nhất. 2. Với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện giai đoạn thứ hai. 3. Theo nguyên lý nhân, tổng số cách hoàn thành công việc là m × n. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tổng số học sinh trong lớp 10A1 và đó sẽ là số cách chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp làm lớp trưởng. Bước 1: Tính tổng số học sinh trong lớp. Số học sinh nam: 25 Số học sinh nữ: 20 Tổng số học sinh trong lớp: \[ 25 + 20 = 45 \] Bước 2: Kết luận số cách chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp làm lớp trưởng. Số cách chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp làm lớp trưởng là 45. Vậy đáp án đúng là: B. 45 Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc nhân trong tổ hợp. Bước 1: Xác định số cách chọn món ăn vặt. - Quán ăn phục vụ 7 món ăn vặt, vậy bạn An có 7 cách để chọn một món ăn vặt. Bước 2: Xác định số cách chọn loại nước uống. - Quán ăn phục vụ 3 loại nước uống, vậy bạn An có 3 cách để chọn một loại nước uống. Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách gọi một món ăn và một loại nước uống. - Tổng số cách gọi một món ăn và một loại nước uống là: 7 (cách chọn món ăn vặt) × 3 (cách chọn loại nước uống) = 21 cách. Vậy đáp án đúng là: C. 21 cách. Đáp số: 21 cách. Câu 4. Để lập được các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau đôi một từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng trăm: Có 7 lựa chọn (vì có 7 chữ số). - Chọn chữ số hàng chục: Có 6 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng trăm, còn lại 6 chữ số). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 5 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng trăm và hàng chục, còn lại 5 chữ số). Vậy tổng số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau đôi một là: \[ 7 \times 6 \times 5 = 210 \] Trong các đáp án được đưa ra, ta thấy rằng: \[ A^3_7 = 7 \times 6 \times 5 = 210 \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( A^3_7 \) Đáp số: C. \( A^3_7 \) Câu 5: Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định loại sắp xếp khi xếp 8 người vào một bàn ngang có 8 ghế. Chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Một tổ hợp chập 8 của 8 phần tử: - Tổ hợp chập 8 của 8 phần tử là số cách chọn 8 phần tử từ 8 phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Điều này không đúng vì chúng ta đang sắp xếp 8 người vào 8 ghế, tức là thứ tự cũng quan trọng. B. Một chỉnh hợp chập 1 của 8 phần tử: - Chỉnh hợp chập 1 của 8 phần tử là số cách chọn 1 phần tử từ 8 phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự. Điều này không đúng vì chúng ta đang sắp xếp tất cả 8 người vào 8 ghế. C. Một hoán vị 8 phần tử: - Hoán vị 8 phần tử là số cách sắp xếp 8 phần tử theo thứ tự. Điều này đúng vì chúng ta đang sắp xếp 8 người vào 8 ghế, và thứ tự của mỗi người ngồi vào ghế là quan trọng. D. Một tổ hợp chập 1 của 8 phần tử: - Tổ hợp chập 1 của 8 phần tử là số cách chọn 1 phần tử từ 8 phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Điều này không đúng vì chúng ta đang sắp xếp tất cả 8 người vào 8 ghế. Vậy, đáp án đúng là: C. Một hoán vị 8 phần tử. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định loại sắp xếp mà bài toán yêu cầu. Cụ thể, chúng ta cần chọn 3 học sinh từ nhóm 7 học sinh để đảm nhiệm ba chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ. Điều này có nghĩa là thứ tự của các học sinh được chọn là quan trọng. Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Một hoán vị 3 phần tử: Hoán vị là sắp xếp các phần tử theo thứ tự nhất định. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta đang chọn 3 học sinh từ 7 học sinh, không phải sắp xếp tất cả 7 học sinh. B. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử: Chỉnh hợp là sắp xếp một số phần tử nhất định từ một tập hợp lớn hơn, và thứ tự của các phần tử được chọn là quan trọng. Đây là lựa chọn phù hợp vì chúng ta đang chọn 3 học sinh từ 7 học sinh và thứ tự của các chức vụ là quan trọng. C. Một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử: Tổ hợp là chọn một số phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không quan tâm đến thứ tự. Vì chúng ta đang quan tâm đến thứ tự của các chức vụ, nên tổ hợp không phù hợp. D. Một chỉnh hợp chập 7 của 3 phần tử: Điều này không đúng vì chúng ta đang chọn 3 học sinh từ 7 học sinh, không phải ngược lại. Do đó, đáp án đúng là B. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Đáp án: B. Một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Câu 7: Chúng ta sẽ giải quyết từng bước để xác định công thức đúng cho số các chỉnh hợp \( A^k_n \). 1. Hiểu về chỉnh hợp: - Chỉnh hợp \( A^k_n \) là số các cách chọn \( k \) phần tử từ một tập hợp có \( n \) phần tử, trong đó thứ tự của các phần tử được quan tâm. 2. Công thức chỉnh hợp: - Số các chỉnh hợp \( A^k_n \) được tính bằng công thức \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \). 3. Lý do: - \( n! \) là số các cách sắp xếp \( n \) phần tử. - \( (n-k)! \) là số các cách sắp xếp phần còn lại sau khi đã chọn \( k \) phần tử. - Do đó, \( \frac{n!}{(n-k)!} \) là số các cách chọn \( k \) phần tử từ \( n \) phần tử, trong đó thứ tự được quan tâm. 4. Kiểm tra các lựa chọn: - A. \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) đúng theo công thức chỉnh hợp. - B. \( A^k_n = \frac{k!(n-k)!}{n!} \) sai vì đây là công thức của tổ hợp, không phải chỉnh hợp. - C. \( A^k_n = \frac{n!}{k!} \) sai vì đây không phải là công thức chỉnh hợp. - D. \( A^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) sai vì đây là công thức của tổ hợp, không phải chỉnh hợp. Vậy, khẳng định đúng là: \[ \boxed{A. \ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}} \] Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của \(5!\) và \(P_4\), sau đó thực hiện phép trừ. Bước 1: Tính \(5!\) \[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\] Bước 2: Tính \(P_4\) \(P_4\) là số các hoán vị của 4 phần tử, tức là: \[P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\] Bước 3: Thực hiện phép trừ \[5! - P_4 = 120 - 24 = 96\] Vậy giá trị của \(5! - P_4\) là 96. Đáp án đúng là: A. 96 Câu 9: Ta sẽ khai triển biểu thức $(x + 1)^4$ bằng cách sử dụng công thức nhị thức Newton hoặc đơn giản là nhân liên tiếp. Bước 1: Nhân $(x + 1)$ với chính nó: \[ (x + 1)(x + 1) = x^2 + 2x + 1 \] Bước 2: Nhân kết quả vừa tìm được với $(x + 1)$ một lần nữa: \[ (x^2 + 2x + 1)(x + 1) = x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \] Bước 3: Nhân kết quả vừa tìm được với $(x + 1)$ một lần cuối cùng: \[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)(x + 1) = x^4 + x^3 + 3x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 3x + x + 1 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \] Vậy khai triển của $(x + 1)^4$ là: \[ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \] Do đó, đáp án đúng là: D. $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$. Câu 10: Ta xét khai triển nhị thức $(a+b)^n$ dưới dạng: \[ (a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1} b + C^2_n a^{n-2} b^2 + ... + C^k_n a^{n-k} b^k + ... + C^n_n b^n \] Trong khai triển này, mỗi số hạng có dạng $C^k_n a^{n-k} b^k$, với $k$ thay đổi từ 0 đến $n$. Do đó, số hạng đầu tiên là $C^0_n a^n$ (khi $k=0$) và số hạng cuối cùng là $C^n_n b^n$ (khi $k=n$). Vậy tổng số số hạng trong khai triển này là: \[ n - 0 + 1 = n + 1 \] Do đó, trong khai triển nhị thức $(a+b)^n$ có $n+1$ số hạng. Đáp án đúng là: A. $n+1$ Câu 11: Ta có khai triển của $(3x + 1)^4$ theo công thức nhị thức Newton là: \[ (3x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_k^4 (3x)^k \cdot 1^{4-k} \] Trong đó, số hạng chứa $x^2$ là: \[ C_2^4 (3x)^2 \cdot 1^{4-2} = C_2^4 (3x)^2 \] Bây giờ, ta tính hệ số của $x^2$ trong số hạng này: \[ C_2^4 (3x)^2 = C_2^4 \cdot 3^2 \cdot x^2 \] Tính $C_2^4$: \[ C_2^4 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Tính $3^2$: \[ 3^2 = 9 \] Như vậy, hệ số của $x^2$ là: \[ 6 \times 9 = 54 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{54} \] Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức của số tổ hợp và số hoán vị. Công thức của số tổ hợp là: \[ C^n_k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Công thức của số hoán vị là: \[ A^n_k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Trong bài toán này, ta có: \[ A^2_n.C^{n-1}_n = 48 \] Ta sẽ tính từng thành phần: 1. Tính \( A^2_n \): \[ A^2_n = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) \] 2. Tính \( C^{n-1}_n \): \[ C^{n-1}_n = \frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n \] Do đó, ta có: \[ A^2_n.C^{n-1}_n = n(n-1) \cdot n = n^2(n-1) \] Theo đề bài, ta có: \[ n^2(n-1) = 48 \] Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị \( n \) để tìm giá trị thỏa mãn phương trình trên: - Nếu \( n = 4 \): \[ 4^2(4-1) = 16 \times 3 = 48 \] Phương trình đúng. - Nếu \( n = 5 \): \[ 5^2(5-1) = 25 \times 4 = 100 \] Phương trình sai. - Nếu \( n = 6 \): \[ 6^2(6-1) = 36 \times 5 = 180 \] Phương trình sai. - Nếu \( n = 7 \): \[ 7^2(7-1) = 49 \times 6 = 294 \] Phương trình sai. Vậy giá trị \( n \) thỏa mãn đẳng thức là \( n = 4 \). Đáp án: A. 4. Câu 13: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Nếu \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), và \( C(x_3, y_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Áp dụng công thức này cho tam giác \( ABC \): - Tọa độ của \( A \) là \( (3, -1) \) - Tọa độ của \( B \) là \( (2, 3) \) - Tọa độ của \( C \) là \( (1, 7) \) Ta có: \[ G\left(\frac{3 + 2 + 1}{3}, \frac{-1 + 3 + 7}{3}\right) \] Tính toán các giá trị trong công thức: \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{9}{3}\right) \] \[ G(2, 3) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là \( (2, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( G(2, 3) \) Câu 14: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm A và điểm B: - Điểm A có tọa độ (-2; 0) - Điểm B có tọa độ (0; 2) 2. Áp dụng công thức tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] Thay tọa độ của điểm A và điểm B vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - (-2), 2 - 0) = (2, 2) \] 3. Kết luận: Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ là (2; 2). Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{u} = (2; 2)$. Câu 15: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Công thức này được viết dưới dạng: \[ I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(x_A, y_A) \) là tọa độ của điểm \( A \) - \( B(x_B, y_B) \) là tọa độ của điểm \( B \) Áp dụng vào bài toán cụ thể: - Tọa độ của điểm \( A \) là \( (-2, 5) \) - Tọa độ của điểm \( B \) là \( (4, 1) \) Ta có: \[ x_I = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_I = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ I(1, 3) \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( I(1, 3) \) Câu 16: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b)$ được viết dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] (t là tham số) Trong hai phương án đã cho: A. $\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 - at \\ y = y_0 - bt \end{array} \right.$ (t là tham số) B. $\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 - bt \end{array} \right.$ (t là tham số) Chúng ta thấy rằng phương án B không đúng vì nó có dấu trừ ở phần phương trình của y, trong khi vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a; b)$ yêu cầu cả hai thành phần đều có cùng dấu với tham số t. Do đó, phương án đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{A}} \]