cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn bán kính 6 cm. Hãy tính độ dài mỗi cạnh và bán kính đuờng tròn nội tiếp của tam giác ABC

Question

kunz_deep_try47 · Accepted Answer

Giả sử $\displaystyle \vartriangle ABC$ đều có O là trọng tâm, M là trung điểm của BC
$\displaystyle \vartriangle ABC$ đều nên O vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, AM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
Khi đó ta có: $\displaystyle OA=6( cm)$
$\displaystyle AM=\frac{3}{2} OA=\frac{3}{2} .6=9( cm)$
$ $Xét $\displaystyle \vartriangle ABM$ vuông tại M có:
$\displaystyle AB^{2} =BM^{2} +AM^{2}$ (định lí Pitago)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow AB^{2} =\left(\frac{AB}{2} ight)^{2} +9^{2}\
\Longrightarrow \frac{3}{4} AB^{2} =81\Longrightarrow AB^{2} =108\
\Longrightarrow AB=6\sqrt{3}
\end{array}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ABC:
   - Tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính $ R = 6 $ cm.
   - Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn có công thức: 
     $$
     AB = BC = CA = R \sqrt{3}
     $$
   - Thay $ R = 6 $ vào công thức:
     $$
     AB = BC = CA = 6 \sqrt{3} \text{ cm}
     $$

2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều ABC:
   - Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều có công thức:
     $$
     r = \frac{R}{2}
     $$
   - Thay $ R = 6 $ vào công thức:
     $$
     r = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
     $$

Kết luận:
- Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ABC là $ 6 \sqrt{3} $ cm.
- Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều ABC là 3 cm.