giúp mình với nhé

Câu 1: Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu: C. $F^\prime(x) = f(x),~\forall x \in K.$ Lập luận từng bước: - Nguyên hàm của một hàm số $f(x)$ là một hàm số $F(x)$ sao cho đạo hàm của $F(x)$ bằng $f(x)$. - Điều này có nghĩa là $F^\prime(x) = f(x)$. Do đó, đáp án đúng là C. $F^\prime(x) = f(x),~\forall x \in K.$ Câu 2: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của nguyên hàm, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx.$ Theo tính chất của nguyên hàm, tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu của các tích phân của từng hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$ Tương tự như trên, mệnh đề này cũng đúng vì tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của các tích phân của từng hàm số đó. C. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus \{0\}.$ Theo tính chất của nguyên hàm, tích phân của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Mệnh đề này sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của các tích phân của từng hàm số đó. Tính chất này không tồn tại trong nguyên hàm. Vậy, mệnh đề sai là: D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Câu 3: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = 2\sin x - 3\cos x \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x - 3\cos x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ F'(x) = 2 \cdot \cos x - 3 \cdot (-\sin x) \] \[ F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \] Vậy, hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 2\cos x + 3\sin x \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \) Đáp án: C. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \) Câu 4: Ta có: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = F(x) \Bigg|_0^2 = F(2) - F(0) \] Biết rằng \( F(0) = 1 \) và \( F(2) = 5 \), ta thay vào công thức trên: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 5 - 1 = 4 \] Vậy giá trị của \(\int^2_0 f(x) \, dx\) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 5: Ta xét từng mệnh đề: A. $\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx=\int^a_bf(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^b_af(x)dx \] Như vậy, mệnh đề A sai. B. $\int^b_af(x)dx-\int^c_af(x)dx=\int^c_cf(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_af(x)dx - \int^c_af(x)dx = \int^b_cf(x)dx \] Như vậy, mệnh đề B sai. C. $\int^b_af(x)dx+\int^c_af(x)dx=\int^b_cf(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_af(x)dx + \int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx + \int^c_af(x)dx \] Như vậy, mệnh đề C sai. D. $\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx=\int^b_af(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^b_af(x)dx \] Như vậy, mệnh đề D đúng. Vậy đáp án đúng là D.