giải toán 11

Câu 8: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các mặt là hình chữ nhật, các cạnh đối diện song song và bằng nhau, và các góc vuông giữa các mặt. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( AC \bot B'D' \): - \( AC \) là đường chéo của đáy ABCD. - \( B'D' \) là đường chéo của đáy A'B'C'D'. - Vì các đáy là hình chữ nhật, các đường chéo của chúng không vuông góc với nhau. Do đó, \( AC \) không vuông góc với \( B'D' \). B. \( AA' \bot CD' \): - \( AA' \) là đường thẳng đứng từ đỉnh A xuống đáy A'. - \( CD' \) là đường thẳng từ đỉnh C xuống đáy D'. - Vì \( AA' \) vuông góc với đáy ABCD, và \( CD' \) nằm trên mặt phẳng của đáy A'B'C'D', do đó \( AA' \) không vuông góc với \( CD' \). C. \( AB' \bot CD' \): - \( AB' \) là đường thẳng từ đỉnh A đến đỉnh B' của đáy A'B'C'D'. - \( CD' \) là đường thẳng từ đỉnh C đến đỉnh D' của đáy A'B'C'D'. - Vì \( AB' \) và \( CD' \) đều nằm trên các mặt phẳng khác nhau và không vuông góc với nhau, do đó \( AB' \) không vuông góc với \( CD' \). D. \( CD \bot A'D' \): - \( CD \) là cạnh của đáy ABCD. - \( A'D' \) là cạnh của đáy A'B'C'D'. - Vì \( CD \) nằm trên mặt phẳng của đáy ABCD và \( A'D' \) nằm trên mặt phẳng của đáy A'B'C'D', và hai mặt phẳng này vuông góc với nhau, do đó \( CD \) vuông góc với \( A'D' \). Vậy khẳng định đúng là: D. \( CD \bot A'D' \). Câu 9: Công thức tính thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = S_{đáy} \times h \] Trong đó: - \( S_{đáy} \) là diện tích đáy của khối lăng trụ. - \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. Theo đề bài, diện tích đáy của khối lăng trụ là \( 2B \) và chiều cao là \( \frac{h}{2} \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = 2B \times \frac{h}{2} \] Tính toán: \[ V = 2B \times \frac{h}{2} = B \times h \] Vậy thể tích của khối lăng trụ là \( Bh \). Đáp án đúng là: B. Bh Câu 10: Để chọn khẳng định sai trong các khẳng định đã cho, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Hai mặt phẳng vuông góc thì chúng cắt nhau. - Đây là khẳng định đúng vì hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì chúng chắc chắn phải cắt nhau. B. Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc. - Đây là khẳng định sai vì hai mặt phẳng cắt nhau hoàn toàn có thể vuông góc với nhau. Ví dụ: Mặt phẳng đứng thẳng và mặt phẳng nằm ngang cắt nhau và vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng vuông góc thì góc của chúng bằng $90^0.$ - Đây là khẳng định đúng vì theo định nghĩa, hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng $90^0$. D. Hai mặt phẳng có góc bằng $90^0$ thì chúng vuông góc. - Đây là khẳng định đúng vì nếu góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^0$, thì chúng được coi là vuông góc với nhau. Vậy khẳng định sai là: B. Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc. Câu 11: Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), chúng ta cần hiểu rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Cụ thể: - Gọi giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng d. - Trên mặt phẳng (P), vẽ đường thẳng a vuông góc với d tại điểm O. - Trên mặt phẳng (Q), vẽ đường thẳng b vuông góc với d tại cùng điểm O. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) sẽ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng cũng nằm trong khoảng này. Vậy khẳng định đúng là: A. $~0^0\leq\varphi\leq90^0.$ Đáp án: A. $~0^0\leq\varphi\leq90^0.$ Câu 12: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a, các đường thẳng AC và B'D' là hai đường chéo của hai mặt phẳng song song (mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (A'B'C'D')). Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng này chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình lập phương là bằng cạnh của hình lập phương, tức là a. Tuy nhiên, để chính xác hơn, ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B'D'. Ta có thể sử dụng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Ta lấy điểm A trên đường thẳng AC và điểm B' trên đường thẳng B'D'. Vector AB' sẽ là vector nối hai điểm này. Vector AB' = B' - A = (a, a, a). Vector AC = C - A = (a, a, 0). Vector B'D' = D' - B' = (-a, a, 0). Ta tính tích có hướng của hai vector AC và B'D': AC × B'D' = $\begin{vmatrix} i & j & k \\ a & a & 0 \\ -a & a & 0 \end{vmatrix}$ = (0, 0, 2a²). Tính độ dài của vector này: |AC × B'D'| = $\sqrt{0^2 + 0^2 + (2a^2)^2}$ = 2a². Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B'D': Khoảng cách = $\frac{|(AB') . (AC × B'D')|}{|AC × B'D'|}$. Vector AB' = (a, a, a). Tích vô hướng (AB') . (AC × B'D') = (a, a, a) . (0, 0, 2a²) = 2a³. Do đó, khoảng cách = $\frac{2a³}{2a²}$ = a. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B'D' là a. Đáp án đúng là: B. $a$. Câu 13. a) Đúng vì BC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA vuông góc với BC. b) Sai vì CD nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và AK nằm trong mặt phẳng SAC. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA vuông góc với CD. Mặt khác, AK nằm trong mặt phẳng SAC và cắt SA tại A nên góc giữa CD và AK là góc vuông, tức là $(CD,AK)=90^0$. c) Sai vì BC nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA vuông góc với BC. Tuy nhiên, BC không vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng SAB, do đó BC không vuông góc với mặt phẳng SAB. d) Đúng vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD nên mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Câu 14. a) Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp BC\). Lại có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) nên \(AB \perp BC\). Do đó \(BC \perp (SAB)\) (vì \(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((SAB)\)). Đáp án: Đúng b) Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp AB\). Lại có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) nên \(AB \perp BC\). Do đó \(AB \perp (SBC)\) (vì \(AB\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((SBC)\)). Suy ra \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \((ABC)\). Đáp án: Đúng c) Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(SA \perp AC\). Lại có \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\) nên \(AH \perp SB\). Do đó \(AC \perp (SAB)\) (vì \(AC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((SAB)\)). Suy ra \((SAC) \perp (SBC)\) (vì \((SAC)\) chứa đường thẳng \(AC\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\)). Đáp án: Đúng