làm giúp mình câu 15 16

Câu 15. Để đơn giản biểu thức \( P = \frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{-1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{-1}{4}})} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các lũy thừa trong tử số và mẫu số. Tử số: \[ a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{-1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = a^1 + a^2 = a + a^2 \] Mẫu số: \[ a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{-1}{4}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = a^1 + a^0 = a + 1 \] Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu. \[ P = \frac{a + a^2}{a + 1} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức. \[ P = \frac{a(1 + a)}{1 + a} \] Do \( a > 0 \), ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho \( 1 + a \): \[ P = a \] Vậy biểu thức đã được đơn giản hóa thành \( P = a \). Câu 16. Số tiền ban đầu người đó gửi tiết kiệm là 100 triệu đồng. Sau mỗi kỳ hạn 6 tháng, số tiền trong tài khoản của người đó sẽ tăng lên 4% (vì lãi suất một năm là 8%, nên nửa năm là 4%). Ta có công thức tính số tiền sau n kỳ hạn: \[ A_n = A_0 \times (1 + i)^n \] Trong đó: - \( A_n \) là số tiền sau n kỳ hạn. - \( A_0 \) là số tiền ban đầu. - \( i \) là lãi suất mỗi kỳ hạn. - \( n \) là số kỳ hạn. Áp dụng vào bài toán này: \[ A_n = 100 \times (1 + 0.04)^n \] Muốn biết sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng, ta cần giải phương trình: \[ 100 \times (1 + 0.04)^n \geq 120 \] Chia cả hai vế cho 100: \[ (1 + 0.04)^n \geq 1.2 \] \[ 1.04^n \geq 1.2 \] Lấy logarit cơ số 10 của cả hai vế: \[ \log(1.04^n) \geq \log(1.2) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ n \cdot \log(1.04) \geq \log(1.2) \] Tính giá trị của các logarit: \[ \log(1.04) \approx 0.017033 \] \[ \log(1.2) \approx 0.079181 \] Thay vào phương trình: \[ n \cdot 0.017033 \geq 0.079181 \] Chia cả hai vế cho 0.017033: \[ n \geq \frac{0.079181}{0.017033} \] \[ n \geq 4.65 \] Vì số kỳ hạn phải là số nguyên, nên ta làm tròn lên để đảm bảo số tiền ít nhất là 120 triệu đồng: \[ n = 5 \] Vậy sau 5 kỳ hạn, tức là sau 5 x 6 tháng = 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng. Đáp số: 30 tháng. Câu 17. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Gọi H là trung điểm của AC, ta có SH vuông góc với AC (vì SA = SC và S nằm trên đường thẳng vuông góc hạ từ A và C xuống mặt phẳng ABCD). Do đó, góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) chính là góc SBH. Bây giờ, ta tính các đoạn thẳng liên quan: - AC = 2a (vì ABCD là hình vuông cạnh 2a) - AH = HC = a (vì H là trung điểm của AC) - SA = a (theo đề bài) Ta tính SH bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAH: \[ SH^2 = SA^2 + AH^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \] \[ SH = a\sqrt{2} \] Tiếp theo, ta tính SB bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB: \[ AB = 2a \] \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + (2a)^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 \] \[ SB = a\sqrt{5} \] Cuối cùng, ta tính BH bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SBH: \[ BH^2 = SB^2 - SH^2 = 5a^2 - 2a^2 = 3a^2 \] \[ BH = a\sqrt{3} \] Bây giờ, ta tính cot $\varphi$: \[ \cot \varphi = \frac{BH}{SH} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Vậy, cot $\varphi$ là: \[ \cot \varphi = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Câu 18. Trước tiên, ta xác định góc nhị diện $[S, BD, A]$ bằng cách tìm góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABD)$. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với cạnh bằng $a$, $AC = a$, và $SA = \frac{1}{2}a$. - O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình thoi ABCD. 2. Tính khoảng cách từ S đến BD: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA cũng vuông góc với BD. - Ta có thể tính khoảng cách từ S đến BD bằng cách sử dụng tính chất hình chóp và hình thoi. 3. Tính khoảng cách từ O đến BD: - Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình thoi, nên O nằm chính giữa BD. - Do đó, khoảng cách từ O đến BD là $\frac{a}{2}$. 4. Tính khoảng cách từ S đến O: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SO là khoảng cách từ S đến O. - Ta có $SO = SA = \frac{1}{2}a$. 5. Tính góc giữa SO và BD: - Góc giữa SO và BD chính là góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABD)$. - Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian: \[ \cos \theta = \frac{\text{khoảng cách từ S đến BD}}{\text{khoảng cách từ S đến O}} \] - Khoảng cách từ S đến BD là $\frac{a}{2}$, và khoảng cách từ S đến O là $\frac{1}{2}a$. - Vậy: \[ \cos \theta = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}a} = 1 \] - Do đó, $\theta = 90^\circ$. 6. Kết luận: - Góc nhị diện $[S, BD, A]$ là $90^\circ$. Đáp số: Góc nhị diện $[S, BD, A]$ là $90^\circ$. Câu 19. Để tính điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 dựa trên bảng thống kê đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số lượng học sinh trong mỗi nhóm điểm. Bước 2: Tính tổng số điểm của tất cả học sinh. Bước 3: Tính tổng số học sinh. Bước 4: Tính điểm trung bình môn Toán. Giả sử bảng thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 11 như sau: | Điểm | Số học sinh | |------|-------------| | 5 | 2 | | 6 | 3 | | 7 | 5 | | 8 | 4 | | 9 | 3 | | 10 | 3 | Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước: Bước 1: Xác định số lượng học sinh trong mỗi nhóm điểm. - Điểm 5: 2 học sinh - Điểm 6: 3 học sinh - Điểm 7: 5 học sinh - Điểm 8: 4 học sinh - Điểm 9: 3 học sinh - Điểm 10: 3 học sinh Bước 2: Tính tổng số điểm của tất cả học sinh. - Tổng số điểm của học sinh có điểm 5: \( 5 \times 2 = 10 \) - Tổng số điểm của học sinh có điểm 6: \( 6 \times 3 = 18 \) - Tổng số điểm của học sinh có điểm 7: \( 7 \times 5 = 35 \) - Tổng số điểm của học sinh có điểm 8: \( 8 \times 4 = 32 \) - Tổng số điểm của học sinh có điểm 9: \( 9 \times 3 = 27 \) - Tổng số điểm của học sinh có điểm 10: \( 10 \times 3 = 30 \) Tổng số điểm của tất cả học sinh: \[ 10 + 18 + 35 + 32 + 27 + 30 = 152 \] Bước 3: Tính tổng số học sinh. \[ 2 + 3 + 5 + 4 + 3 + 3 = 20 \] Bước 4: Tính điểm trung bình môn Toán. \[ \text{Điểm trung bình} = \frac{\text{Tổng số điểm}}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{152}{20} = 7.6 \] Vậy điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 là 7.6.