Giải chi tiết

Câu 2: Trước tiên, ta xác định diện tích đáy của hình chóp S.ABCD. Vì đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2 \] Thể tích của khối chóp S.ABCD được cho là: \[ V = \frac{4a^2}{2} = 2a^2 \] Công thức tính thể tích của khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] Trong đó, \( h \) là chiều cao của khối chóp hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Thay các giá trị đã biết vào công thức trên, ta có: \[ 2a^2 = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times h \] Giải phương trình này để tìm \( h \): \[ 2a^2 = \frac{4a^2 \times h}{3} \] \[ 6a^2 = 4a^2 \times h \] \[ h = \frac{6a^2}{4a^2} = \frac{3}{2}a \] Chiều cao \( h \) của khối chóp là \( \frac{3}{2}a \). Tiếp theo, ta cần tìm góc giữa SC và mặt đáy. Ta gọi O là tâm của hình vuông ABCD, tức là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chiều cao hạ từ S xuống đáy sẽ đi qua O. Trong tam giác SOA, ta có: \[ OA = \frac{AC}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \] Ta cần tìm \( SA \). Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có: \[ SA = SB \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SA^2 = SO^2 + OA^2 \] \[ SA^2 = \left(\frac{3}{2}a\right)^2 + (a\sqrt{2})^2 \] \[ SA^2 = \frac{9}{4}a^2 + 2a^2 \] \[ SA^2 = \frac{9}{4}a^2 + \frac{8}{4}a^2 \] \[ SA^2 = \frac{17}{4}a^2 \] \[ SA = \frac{\sqrt{17}}{2}a \] Bây giờ, ta xét tam giác SCO. Ta cần tìm \( tan \alpha \), góc giữa SC và mặt đáy: \[ tan \alpha = \frac{SO}{OC} \] Trong tam giác COA, ta có: \[ OC = OA = a\sqrt{2} \] Do đó: \[ tan \alpha = \frac{\frac{3}{2}a}{a\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \] Vậy, giá trị của \( tan \alpha \) là: \[ tan \alpha = \frac{3\sqrt{2}}{4} \] Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích của mảnh vườn hình tròn ban đầu. 2. Tính diện tích của phần đất cần trồng cây. 3. Tính tổng kinh phí để trồng cây trên phần đất đó. Bước 1: Tính diện tích của mảnh vườn hình tròn ban đầu Diện tích của mảnh vườn hình tròn ban đầu là: \[ S_{\text{ban đầu}} = \pi R^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{m}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của phần đất cần trồng cây Phần đất cần trồng cây là một dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng. Diện tích của phần đất này là: \[ S_{\text{trồng cây}} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \right) = 36 \, \text{m}^2 \] Bước 3: Tính tổng kinh phí để trồng cây trên phần đất đó Kinh phí trồng cây là 70000 đồng/m². Vậy tổng kinh phí để trồng cây trên phần đất đó là: \[ \text{Tổng kinh phí} = 36 \times 70000 = 2520000 \, \text{đồng} \] Số tiền cần để trồng cây trên phần đất đó là 2520000 đồng. Đáp số: 2520000 đồng. Câu 4: Gọi số tiền giảm là $x$ (triệu đồng), $0 \leq x < 30$ Giá bán mới là $30 - x$ (triệu đồng) Số lượng bán được là $600 + 200x$ (chiếc) Doanh thu là: \[ f(x) = (30 - x)(600 + 200x) \] \[ f(x) = 18000 + 6000x - 600x - 200x^2 \] \[ f(x) = -200x^2 + 5400x + 18000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại: \[ f'(x) = -400x + 5400 \] Đặt $f'(x) = 0$: \[ -400x + 5400 = 0 \] \[ 400x = 5400 \] \[ x = 13.5 \] Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở hai bên điểm $x = 13.5$: - Khi $x < 13.5$, $f'(x) > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $x > 13.5$, $f'(x) < 0$ (hàm số nghịch biến) Vậy $x = 13.5$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Giá bán mới để doanh thu lớn nhất là: \[ 30 - 13.5 = 16.5 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: 16.5 triệu đồng Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số lượng các số nguyên dương \( y \) sao cho với mỗi \( y \), có không quá 6 số nguyên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức: \[ (2024^{x+2} - \sqrt[3]{2024})(2025^x - y) < 0. \] Bước 1: Xét dấu của \( 2024^{x+2} - \sqrt[3]{2024} \). - \( 2024^{x+2} \) là một hàm tăng theo \( x \). - \( \sqrt[3]{2024} \) là hằng số. Do đó, \( 2024^{x+2} - \sqrt[3]{2024} > 0 \) khi \( x \geq 0 \). Bước 2: Xét dấu của \( 2025^x - y \). - \( 2025^x \) là một hàm tăng theo \( x \). - \( y \) là hằng số. Do đó, \( 2025^x - y > 0 \) khi \( x \geq \log_{2025}(y) \). Bước 3: Kết hợp hai điều kiện trên để tìm \( x \). - Để bất đẳng thức \( (2024^{x+2} - \sqrt[3]{2024})(2025^x - y) < 0 \) đúng, ta cần \( 2024^{x+2} - \sqrt[3]{2024} > 0 \) và \( 2025^x - y < 0 \). - Điều này tương đương với \( x \geq 0 \) và \( x < \log_{2025}(y) \). Bước 4: Tìm số lượng các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên. - Số lượng các số nguyên \( x \) thỏa mãn \( 0 \leq x < \log_{2025}(y) \) là \( \lfloor \log_{2025}(y) \rfloor + 1 \). - Ta cần \( \lfloor \log_{2025}(y) \rfloor + 1 \leq 6 \). - Điều này tương đương với \( \lfloor \log_{2025}(y) \rfloor \leq 5 \). - Do đó, \( \log_{2025}(y) \leq 5 \). - Điều này tương đương với \( y \leq 2025^5 \). Bước 5: Tính \( 2025^5 \). - \( 2025^5 \approx 3.4 \times 10^{19} \). Bước 6: Đếm số lượng các số nguyên dương \( y \) từ 1 đến \( 2025^5 \). - Số lượng các số nguyên dương \( y \) là \( 2025^5 \). Vậy số lượng các số nguyên dương \( y \) sao cho với mỗi \( y \), có không quá 6 số nguyên \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức đã cho là \( 2025^5 \). Đáp số: \( 2025^5 \). Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xác suất tổng hợp. Chúng ta sẽ tính xác suất tổng hợp của hai trường hợp: người dân nghiện rượu và người dân không nghiện rượu. Bước 1: Xác định xác suất của từng trường hợp. - Xác suất người dân nghiện rượu là \( P(N) = 0.07 \). - Xác suất người dân không nghiện rượu là \( P(\overline{N}) = 1 - P(N) = 1 - 0.07 = 0.93 \). Bước 2: Xác định xác suất người dân bị bệnh gan trong từng trường hợp. - Xác suất người dân bị bệnh gan trong số người nghiện rượu là \( P(G|N) = 0.12 \). - Xác suất người dân bị bệnh gan trong số người không nghiện rượu là \( P(G|\overline{N}) = 0.02 \). Bước 3: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp để tính xác suất người dân bị bệnh gan. \[ P(G) = P(N) \cdot P(G|N) + P(\overline{N}) \cdot P(G|\overline{N}) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(G) = 0.07 \cdot 0.12 + 0.93 \cdot 0.02 \] \[ P(G) = 0.0084 + 0.0186 \] \[ P(G) = 0.027 \] Bước 4: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. \[ P(G) \approx 0.027 \approx 2.7\% \] Vậy, khả năng mà người đó bị bệnh gan là khoảng 2.7%. Đáp số: 2.7%