trang 5 nữa ạ

Câu 43. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = (1 - x^3)^5 \), ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số bên trong và bên ngoài. - Hàm số bên trong là \( u = 1 - x^3 \). - Hàm số bên ngoài là \( y = u^5 \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số bên trong. \[ u' = \frac{d}{dx}(1 - x^3) = -3x^2 \] Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số bên ngoài theo biến \( u \). \[ \frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^5) = 5u^4 \] Bước 4: Áp dụng quy tắc chuỗi để tính đạo hàm tổng thể. \[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (-3x^2) \] Bước 5: Thay \( u = 1 - x^3 \) vào kết quả. \[ y' = 5(1 - x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(1 - x^3)^4 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y' = -15x^2(1 - x^3)^4 \] Câu 44. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số \( y = 3x^3 + x^2 + 1 \). 2. Tìm các giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm \( y' \leq 0 \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = 3x^3 + x^2 + 1 \). \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2 + 1) = 9x^2 + 2x \] Bước 2: Giải bất phương trình \( y' \leq 0 \). \[ 9x^2 + 2x \leq 0 \] Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( 9x^2 + 2x \leq 0 \). Đầu tiên, giải phương trình \( 9x^2 + 2x = 0 \): \[ 9x^2 + 2x = 0 \] \[ x(9x + 2) = 0 \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 9x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{9} \] Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức \( 9x^2 + 2x \) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = -\frac{2}{9} \): - Khi \( x < -\frac{2}{9} \), chọn \( x = -1 \): \[ 9(-1)^2 + 2(-1) = 9 - 2 = 7 > 0 \] - Khi \( -\frac{2}{9} < x < 0 \), chọn \( x = -\frac{1}{10} \): \[ 9\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{10}\right) = 9 \cdot \frac{1}{100} - \frac{2}{10} = \frac{9}{100} - \frac{20}{100} = -\frac{11}{100} < 0 \] - Khi \( x > 0 \), chọn \( x = 1 \): \[ 9(1)^2 + 2(1) = 9 + 2 = 11 > 0 \] Do đó, biểu thức \( 9x^2 + 2x \leq 0 \) đúng trong khoảng \( -\frac{2}{9} \leq x \leq 0 \). Vậy tập hợp các giá trị của \( x \) sao cho \( y' \leq 0 \) là: \[ \left[-\frac{2}{9}, 0\right] \] Đáp án đúng là: \( A.~[-\frac{2}{9};0] \) Câu 1. a. Đúng vì $f^\prime(x)=(x^3+3x^2+x-5)^\prime=(x^3)^\prime+(3x^2)^\prime+(x)^\prime-(5)^\prime=3x^2+6x+1.$ Suy ra $f^\prime(-1)=3\times(-1)^2+6\times(-1)+1=3-6+1=-2.$ b. Đúng vì $f^\prime(x)=\left(\frac{2x-1}{x+1}\right)^\prime=\frac{(2x-1)^\prime(x+1)-(2x-1)(x+1)^\prime}{(x+1)^2}=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\frac3{(x+1)^2},\forall x\ne-1.$ c. Sai vì $f^\prime(x)=(\sin2x)^\prime=\cos2x\times(2x)^\prime=2\cos2x.$ Mà $-1\leq\cos2x\leq1,\forall x\in\mathbb R.$ Suy ra $-2\leq2\cos2x\leq2,\forall x\in\mathbb R.$ Vậy $-2\leq f^\prime(x)\leq2,\forall x\in\mathbb R.$ d. Sai vì $y^\prime=(x^2-x-2)^\prime=(x^2)^\prime-(x)^\prime-(2)^\prime=2x-1.$ Suy ra $y^\prime|_{x=1}=2\times1-1=1.$ Ta có $y|_{x=1}=1^2-1-2=-2.$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2-x-2$ tại điểm có hoành độ $x=1$ là $y-(-2)=1\times(x-1)$ hay $x-y-3=0.$ Câu 2. a) Đúng vì hàm số đã cho là hàm số mũ. b) Sai vì tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. c) Sai vì hàm số đồng biến khi $a>1$ và nghịch biến khi $0< a< 1$. d) Đúng vì đồ thị hàm số luôn qua điểm $M(0;1)$ nhưng không qua điểm $N(a;1)$ vì $f(a)=a^a$. Câu 3. a) Đúng. Ta có thể dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=x^2+2x$ tại điểm $x_0=1$. Theo định nghĩa, ta có: \[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \] Thay $f(x) = x^2 + 2x$ và $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3$, ta có: \[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} \] Rút gọn phân thức: \[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4 \] b) Sai. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$ tại điểm M có hoành độ $x_0 = 1$ bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Ta đã tính ở phần trên: \[ f'(1) = 4 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là 4, không phải 6. c) Đúng. Ta thay $x = 2$ vào hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$: \[ f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8 \] Vì $8 > 5$, nên $f(2) > 5$. Đáp số: a) Đúng b) Sai c) Đúng