2. Cho đường tròn (O; R) và đây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm 4 di động trên (0, 2) sao cho 4.ABC có ba góc nhọn và AB < AC Vẽ đường cao CD của ABC và đường kính AM. На СЕ vuông góc với AM tại E, gọi...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và cẩn thận. Phần a) Chứng minh rằng tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn 1. Xác định các góc và đường thẳng: - Ta có đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định. - Điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. - Vẽ đường cao CD của tam giác ABC. - Vẽ đường kính AM của đường tròn. - Vẽ CE vuông góc với AM tại E. - Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, BH cắt AC tại K. 2. Chứng minh tứ giác ADEC nội tiếp: - Ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác ADEC bằng 180°. - Xét góc CAD và góc CED: - Góc CAD là góc nội tiếp chắn cung CD. - Góc CED là góc vuông (CE vuông góc với AM). - Vì CE vuông góc với AM, nên góc CED = 90°. - Góc CAD + góc CED = góc CAD + 90°. - Để tứ giác ADEC nội tiếp, ta cần góc CAD + góc CED = 180°. - Do đó, góc CAD phải bằng 90°. - Vì A nằm trên đường tròn và AM là đường kính, nên góc CAD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, tức là góc CAD = 90°. - Vậy tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn. Phần b) Chứng minh rằng ABH = DEA và DE × BC = DC × BM 1. Chứng minh ABH = DEA: - Ta xét tam giác ABH và tam giác DEA. - Góc ABH và góc DEA đều là góc vuông (vì H là trực tâm của tam giác ABC và CE vuông góc với AM). - Góc BAH và góc EAD là góc chung. - Do đó, tam giác ABH và tam giác DEA đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc BAH = góc EAD và cả hai đều có góc vuông). - Từ đó, ta có ABH = DEA. 2. Chứng minh DE × BC = DC × BM: - Ta xét tam giác DEC và tam giác BMC. - Góc DEC và góc BMC đều là góc vuông (CE vuông góc với AM và BM là đường kính). - Góc DCE và góc MCB là góc chung. - Do đó, tam giác DEC và tam giác BMC đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc DCE = góc MCB và cả hai đều có góc vuông). - Từ đó, ta có tỉ lệ cạnh: $$. - Nhân cả hai vế với DC và BC, ta được: DE × BC = DC × BM. Phần c) Kéo dài DE cắt HM tại F. Chứng minh rằng DF luôn đi qua một điểm cố định và KF // AM 1. Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định: - Ta xét điểm F là giao điểm của DE và HM. - Vì DE và HM đều là đường thẳng cố định (do DE và HM đều liên quan đến các điểm cố định trên đường tròn), nên giao điểm F cũng là điểm cố định. 2. Chứng minh KF // AM: - Ta xét tam giác KHF và tam giác AMH. - Góc KHF và góc AMH đều là góc vuông (vì H là trực tâm của tam giác ABC và AM là đường kính). - Góc HKF và góc HAM là góc chung. - Do đó, tam giác KHF và tam giác AMH đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc HKF = góc HAM và cả hai đều có góc vuông). - Từ đó, ta có KF // AM. Kết luận: - Tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn. - ABH = DEA và DE × BC = DC × BM. - DF luôn đi qua một điểm cố định và KF // AM. Đáp số: Tứ giác ADEC nội tiếp được một đường tròn, ABH = DEA và DE × BC = DC × BM, DF luôn đi qua một điểm cố định và KF // AM.