Giải chi tiết giúp tớ ạ

Câu 3. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0\sin xdx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int^{\frac\pi3}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi3}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ = -\cos\left(\frac\pi3\right) - (-\cos(0)) \] \[ = -\cos\left(\frac\pi3\right) + \cos(0) \] Bước 4: Tính giá trị của các hàm cosinus. \[ \cos\left(\frac\pi3\right) = \frac{1}{2} \] \[ \cos(0) = 1 \] Bước 5: Thay các giá trị này vào biểu thức. \[ = -\frac{1}{2} + 1 \] \[ = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0\sin xdx$ là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2}$. Câu 4. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về nguyên hàm, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hàm số f(x) có nguyên hàm trên K. - Đây là một mệnh đề đúng vì nếu f(x) là hàm số liên tục trên K thì nó luôn có nguyên hàm trên K. B. $\int f'(x)dx = f(x) + C.$ - Đây cũng là một mệnh đề đúng vì theo định nghĩa của nguyên hàm, nguyên hàm của đạo hàm của một hàm số là chính hàm số đó cộng thêm hằng số C. C. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx,~\forall k\in R.$ - Đây là một mệnh đề đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép chúng ta lấy hằng số ra ngoài dấu tích phân. D. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx.$ - Đây là một mệnh đề đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cũng cho phép chúng ta tách tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số thành tổng hoặc hiệu của các tích phân riêng lẻ. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta cần tìm mệnh đề sai. Do đó, câu trả lời là: Đáp án: D. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$ Lý do: Mệnh đề này không đúng vì nó chỉ đúng khi là tổng (cộng) chứ không phải là hiệu (trừ). Vì vậy, mệnh đề đúng phải là $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx.$ Đáp án: D. Câu 5. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{2} (3x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x + 1 \). Nguyên hàm của \( 3x \) là \( \frac{3x^2}{2} \). Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Vậy, nguyên hàm của \( 3x + 1 \) là: \[ F(x) = \frac{3x^2}{2} + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ I = \left[ \frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{2} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ I = \left( \frac{3(2)^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} + 0 \right) \] \[ I = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} + 2 \right) - 0 \] \[ I = \left( \frac{12}{2} + 2 \right) \] \[ I = 6 + 2 \] \[ I = 8 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( I = 8 \) Đáp số: \( I = 8 \). Câu 6. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \( y = x^2 - 3x \) và \( y = x \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ x^2 - 3x = x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm là \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Do đó, ta sẽ tính diện tích từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \). 3. Tính diện tích S: Diện tích S được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số \( y = x \) và hàm số \( y = x^2 - 3x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \): \[ S = \int_{0}^{4} \left( x - (x^2 - 3x) \right) \, dx \] \[ S = \int_{0}^{4} \left( x - x^2 + 3x \right) \, dx \] \[ S = \int_{0}^{4} \left( 4x - x^2 \right) \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \] \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \] \[ S = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \] \[ S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 \] \[ S = 32 - \frac{64}{3} \] \[ S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \] \[ S = \frac{32}{3} \] Vậy diện tích S là: \[ S = \frac{32}{3} \] Đáp án đúng là: A. \( S = \frac{32}{3} \) Câu 7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \), trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( 2x + 3y - z = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2, B = 3, C = -1, D = 0 \). B. \( x^2 - y + 2z + 1 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( x^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. C. \( x - y^2 + 2z + 7 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( y^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. D. \( x - y + z^2 = 0 \) - Phương trình này không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có chứa \( z^2 \), tức là có bậc cao hơn 1. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: A. \( 2x + 3y - z = 0 \) Đáp án đúng là: A. \( 2x + 3y - z = 0 \). Câu 8: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (3-1, 2-0, -1-1) = (2, 2, -2)$ 2. Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến: - $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(-2 + 2) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(2 - 2) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (0, 0, 0) \] Như vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 0)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (0, 0, 0)$. Câu 9: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(2,3,-1) \) đến mặt phẳng \( 2x - y + z = 4 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ của điểm \( M \), và \( ax + by + cz + d = 0 \) là phương trình của mặt phẳng. - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (2, 3, -1) \). - Phương trình của mặt phẳng là \( 2x - y + z - 4 = 0 \). Áp dụng vào công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} \] Tính toán từng phần: \[ 2 \cdot 2 = 4 \] \[ -1 \cdot 3 = -3 \] \[ 1 \cdot (-1) = -1 \] \[ 4 - 3 - 1 - 4 = -4 \] Vậy: \[ |4 - 3 - 1 - 4| = |-4| = 4 \] Bây giờ, tính mẫu số: \[ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Do đó, khoảng cách \( d \) là: \[ d = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4 \sqrt{6}}{6} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng là: \[ \boxed{\frac{2 \sqrt{6}}{3}} \] Đáp án đúng là: C. \( \frac{2 \sqrt{6}}{3} \) Câu 10: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(1,2,3) \) và có vector chỉ phương \( \overrightarrow{v} = (2, -1, 4) \), ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) và có vector chỉ phương \( \overrightarrow{v} = (a, b, c) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - Điểm \( A(1, 2, 3) \) nên \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 2 \), \( z_0 = 3 \) - Vector chỉ phương \( \overrightarrow{v} = (2, -1, 4) \) nên \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 4 \) Thay vào công thức trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{array} \right. \] Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{array} \right. \) Câu 11: Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1,2,3)\) và \(B(4,5,6)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) \] 2. Lập phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A(1,2,3)\) và có vector chỉ phương \((3, 3, 3)\) có dạng: \[ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{3} \] Do đó, phương án đúng là: A. $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{3}$ Đáp án: A. $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{3}$