Giúp mình với!

Câu 1: Để tìm giá trị của \(a + 2b\) khi biết rằng hàm số \(F(x) = a \sin x + b \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2 \sin x - \cos x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\). \[ F'(x) = \frac{d}{dx} (a \sin x + b \cos x) = a \cos x - b \sin x \] Bước 2: So sánh đạo hàm của \(F(x)\) với \(f(x)\). Theo đề bài, \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\), do đó: \[ F'(x) = f(x) \] \[ a \cos x - b \sin x = 2 \sin x - \cos x \] Bước 3: So sánh hệ số tương ứng của \(\sin x\) và \(\cos x\) từ hai vế của phương trình. Từ phương trình trên, ta có: \[ a \cos x - b \sin x = - \cos x + 2 \sin x \] So sánh hệ số của \(\cos x\) và \(\sin x\) ở cả hai vế: - Hệ số của \(\cos x\): \(a = -1\) - Hệ số của \(\sin x\): \(-b = 2 \Rightarrow b = -2\) Bước 4: Tính giá trị của \(a + 2b\). \[ a + 2b = -1 + 2(-2) = -1 - 4 = -5 \] Vậy giá trị của \(a + 2b\) là \(-5\). Câu 2: Để tính thể tích của chi tiết máy được tạo ra bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 - 4x + 5 \), trục hoành và các đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 4 \) quanh trục hoành, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \) Bước 1: Tính \( [f(x)]^2 \): \[ [f(x)]^2 = (x^2 - 4x + 5)^2 \] \[ = (x^2 - 4x + 5)(x^2 - 4x + 5) \] \[ = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 20x + 5x^2 - 20x + 25 \] \[ = x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25 \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{1}^{4} (x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25) \, dx \] Tính từng phần tích phân: \[ \int_{1}^{4} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{4} = \frac{4^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{1024}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1023}{5} \] \[ \int_{1}^{4} 8x^3 \, dx = 8 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{4} = 8 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = 8 \left( \frac{256}{4} - \frac{1}{4} \right) = 8 \left( 64 - \frac{1}{4} \right) = 8 \times 63.75 = 510 \] \[ \int_{1}^{4} 26x^2 \, dx = 26 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = 26 \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 26 \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right) = 26 \times 21 = 546 \] \[ \int_{1}^{4} 40x \, dx = 40 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = 40 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 40 \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = 40 \times 7.5 = 300 \] \[ \int_{1}^{4} 25 \, dx = 25 \left[ x \right]_{1}^{4} = 25 (4 - 1) = 25 \times 3 = 75 \] Bước 3: Cộng tất cả các tích phân lại: \[ V = \pi \left( \frac{1023}{5} - 510 + 546 - 300 + 75 \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1023}{5} - 189 \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1023 - 945}{5} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{78}{5} \right) \] \[ = \frac{78\pi}{5} \] Bước 4: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ V \approx \frac{78 \times 3.14159}{5} \approx \frac{245.07}{5} \approx 49.014 \] Vậy thể tích của chi tiết máy đó là khoảng 49 cm³. Câu 3: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(AB\). 2. Tìm tọa độ của điểm \(B\) dựa trên điều kiện \(AB\) song song với \(d\) và \(B\) thuộc mặt phẳng \((P)\). 3. Tính giá trị của \(2a + b^2 + c^2\). Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(AB\) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u_d} = (-1, 3, 1)\). Đường thẳng \(AB\) song song với đường thẳng \(d\), do đó vectơ chỉ phương của \(AB\) cũng là \(\vec{u_{AB}} = (-1, 3, 1)\). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm \(B\) Gọi \(B(a, b, c)\). Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AB} = (a - 2, b + 1, c - 1) \] Vì \(\overrightarrow{AB}\) song song với \(\vec{u_d}\), ta có: \[ \frac{a - 2}{-1} = \frac{b + 1}{3} = \frac{c - 1}{1} \] Gọi tỷ số này là \(k\), ta có: \[ a - 2 = -k \quad \Rightarrow \quad a = 2 - k \] \[ b + 1 = 3k \quad \Rightarrow \quad b = 3k - 1 \] \[ c - 1 = k \quad \Rightarrow \quad c = k + 1 \] Bước 3: Thay tọa độ của \(B\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\) Điểm \(B(a, b, c)\) thuộc mặt phẳng \((P)\), do đó thay \(a\), \(b\), \(c\) vào phương trình mặt phẳng: \[ 2a - b + c - 2 = 0 \] Thay \(a = 2 - k\), \(b = 3k - 1\), \(c = k + 1\) vào phương trình trên: \[ 2(2 - k) - (3k - 1) + (k + 1) - 2 = 0 \] \[ 4 - 2k - 3k + 1 + k + 1 - 2 = 0 \] \[ 4 - 4k = 0 \] \[ k = 1 \] Bước 4: Tính giá trị của \(2a + b^2 + c^2\) Thay \(k = 1\) vào các biểu thức của \(a\), \(b\), \(c\): \[ a = 2 - 1 = 1 \] \[ b = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \] \[ c = 1 + 1 = 2 \] Tính giá trị của \(2a + b^2 + c^2\): \[ 2a + b^2 + c^2 = 2 \cdot 1 + 2^2 + 2^2 = 2 + 4 + 4 = 10 \] Vậy giá trị của \(2a + b^2 + c^2\) là \(\boxed{10}\). Câu 4: Để tìm chênh lệch lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm so với khi bán 50 tấn sản phẩm, ta cần tính lợi nhuận khi bán 100 tấn và khi bán 50 tấn, sau đó lấy hiệu hai giá trị này. Bước 1: Tính lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm. Lợi nhuận biên khi bán 100 tấn là: \[ P'(100) = 18 - 0,04 \times 100 = 18 - 4 = 14 \text{ (triệu đồng/tấn)} \] Tổng lợi nhuận khi bán 100 tấn là: \[ P(100) = 14 \times 100 = 1400 \text{ (triệu đồng)} \] Bước 2: Tính lợi nhuận khi bán 50 tấn sản phẩm. Lợi nhuận biên khi bán 50 tấn là: \[ P'(50) = 18 - 0,04 \times 50 = 18 - 2 = 16 \text{ (triệu đồng/tấn)} \] Tổng lợi nhuận khi bán 50 tấn là: \[ P(50) = 16 \times 50 = 800 \text{ (triệu đồng)} \] Bước 3: Tính chênh lệch lợi nhuận. Chênh lệch lợi nhuận khi bán 100 tấn so với khi bán 50 tấn là: \[ P(100) - P(50) = 1400 - 800 = 600 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy chênh lệch lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm so với khi bán 50 tấn sản phẩm là 600 triệu đồng. Câu 5: Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y + z - 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (1, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(1, 2, 0) và điểm B(3, 4, -2). Vectơ AB là: \[ \vec{AB} = (3 - 1, 4 - 2, -2 - 0) = (2, 2, -2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ vuông góc với cả \(\vec{n}_P\) và \(\vec{AB}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-2) - (1)(2)) - \vec{j}((1)(-2) - (1)(2)) + \vec{k}((1)(2) - (-1)(2)) \] \[ \vec{n}_Q = \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(2 + 2) = \vec{i}(0) - \vec{j}(-4) + \vec{k}(4) = (0, 4, 4) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_Q = (0, 4, 4)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1, 2, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, 4, 4)\). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0(x - 1) + 4(y - 2) + 4(z - 0) = 0 \] \[ 4y - 8 + 4z = 0 \] \[ 4y + 4z - 8 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4 để đơn giản hóa: \[ y + z - 2 = 0 \] So sánh với phương trình ban đầu \(ax + by + cz + 2 = 0\), ta thấy \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 1\). 5. Tính giá trị của \(T = a + b + c\): \[ T = 0 + 1 + 1 = 2 \] Vậy giá trị của \(T\) là \(\boxed{2}\). Câu 6: Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và đi qua điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM}$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M: - Ta có $\overrightarrow{AB} = B - A = (1-0, 1-1, 2+1) = (1, 0, 3)$. - Gọi M có tọa độ $(x, y, z)$, ta có $\overrightarrow{AM} = (x, y-1, z+1)$. - Theo đề bài, $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM}$, tức là $(1, 0, 3) = 3(x, y-1, z+1)$. - Từ đó suy ra: \[ 1 = 3x \implies x = \frac{1}{3} \] \[ 0 = 3(y-1) \implies y = 1 \] \[ 3 = 3(z+1) \implies z = 0 \] - Vậy tọa độ của điểm M là $\left(\frac{1}{3}, 1, 0\right)$. 2. Tìm phương trình mặt phẳng (BCD): - Mặt phẳng (BCD) đi qua điểm B(1, 1, 2) và có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$. - Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1-1, -1-1, 0-2) = (0, -2, -2) \] \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0-1, 0-1, 1-2) = (-1, -1, -1) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 - 2) = (0, 2, -2) \] - Phương trình mặt phẳng (BCD) là: \[ 0(x - 1) + 2(y - 1) - 2(z - 2) = 0 \implies 2y - 2z + 2 = 0 \implies y - z + 1 = 0 \] 3. Tìm phương trình mặt phẳng (Q) song song với (BCD) và đi qua M: - Vì mặt phẳng (Q) song song với (BCD), nên vectơ pháp tuyến của (Q) cũng là $\overrightarrow{n} = (0, 2, -2)$. - Phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là: \[ 0(x - \frac{1}{3}) + 2(y - 1) - 2(z - 0) = 0 \implies 2y - 2z - 2 = 0 \implies y - z - 1 = 0 \] - So sánh với phương trình tổng quát $ax + y - z + m = 0$, ta thấy $a = 0$, $m = -1$. 4. Tính giá trị của $a - m$: \[ a - m = 0 - (-1) = 1 \] Vậy giá trị của $a - m$ là $\boxed{1}$.