🥺🥺🥺🥺🥺🥺🥺🥺🥺🥺🥺

Câu 11. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tích phân để tính giá trị của $\int^1_1 [2f(x) + g(x)] dx$. Bước 1: Xác định các tích phân đã cho: - $\int^\dagger_1 f(x) dx = 3$ - $-2 \int^f g(x) dx = 3$ Từ đây, ta có: \[ \int^f g(x) dx = -\frac{3}{2} \] Bước 2: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ \int^1_1 [2f(x) + g(x)] dx = 2 \int^1_1 f(x) dx + \int^1_1 g(x) dx \] Bước 3: Thay các giá trị tích phân đã biết vào: \[ 2 \int^1_1 f(x) dx = 2 \times 3 = 6 \] \[ \int^1_1 g(x) dx = -\frac{3}{2} \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_1 [2f(x) + g(x)] dx = 6 + (-\frac{3}{2}) = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \] Nhưng vì giới hạn trên và dưới của tích phân đều là 1, nên tích phân của bất kỳ hàm nào từ 1 đến 1 đều bằng 0. Do đó: \[ \int^1_1 [2f(x) + g(x)] dx = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{0} \] Câu 12. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 \), ta thực hiện như sau: \[ F(x) = \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Theo đề bài, ta biết rằng \( F(1) = 2 \). Thay \( x = 1 \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(1) = 1^3 + C = 2 \] Từ đó, ta có: \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = 3x^2 \) là: \[ F(x) = x^3 + 1 \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( F(x) = x^3 + 1 \) Đáp số: C. \( F(x) = x^3 + 1 \) Câu 1. a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, -1 - 3, 2 - 4) = (2, -4, -2) \] Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(2, -4, -2)$. b) Tọa độ của trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính bằng cách lấy trung bình cộng của tọa độ tương ứng của điểm A và điểm B: \[ I = \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (2, 1, 3) \] Do đó, tọa độ của trung điểm I là $(2, 1, 3)$. c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{AB}$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (2, -4, -2)$. Ta có thể đơn giản hóa vectơ pháp tuyến này thành $\overrightarrow{n} = (1, -2, -1)$ bằng cách chia tất cả các thành phần của vectơ cho 2. d) Phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng: \[ 1(x - 2) - 2(y - 1) - 1(z - 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ x - 2 - 2y + 2 - z + 3 = 0 \] \[ x - 2y - z + 3 = 0 \] Do đó, phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ x - 2y - z + 3 = 0 \] Đáp số: a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(2, -4, -2)$. b) Tọa độ của trung điểm I là $(2, 1, 3)$. c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{n} = (1, -2, -1)$. d) Phương trình của mặt phẳng trung trực là $x - 2y - z + 3 = 0$. Câu 2. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Parabol có phương trình là $y = x^2 - 2$ Phương trình của parabol đã cho là $y = x^2 - 2$. Chúng ta sẽ kiểm tra xem liệu đây có phải là phương trình đúng của parabol hay không. Phần b) Tích phân $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -\frac{8}{3}$ Ta cần tính tích phân của hàm số $f(x) = x^2 - 2$ từ $x = -2$ đến $x = 2$: \[ \int_{-2}^{2} (x^2 - 2) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx - \int_{-2}^{2} 2 \, dx \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] \[ \int_{-2}^{2} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-2}^{2} = 2(2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8 \] Vậy tích phân tổng cộng là: \[ \int_{-2}^{2} (x^2 - 2) \, dx = \frac{16}{3} - 8 = \frac{16}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{8}{3} \] Điều này chứng minh rằng tích phân $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -\frac{8}{3}$ là đúng. Phần c) Diện tích hình (H) bằng $\frac{4}{3}$ Diện tích hình (H) nằm giữa parabol $y = x^2 - 2$ và trục Ox từ $x = -2$ đến $x = 2$. Ta tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hàm số từ $x = -2$ đến $x = 2$ và lấy giá trị tuyệt đối của nó: \[ A = \left| \int_{-2}^{2} (x^2 - 2) \, dx \right| = \left| -\frac{8}{3} \right| = \frac{8}{3} \] Nhưng vì hình (H) nằm dưới trục Ox, diện tích thực sự là: \[ A = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \] Phần d) Quay hình (H) quanh trục Ox ta được vật thể tròn xoay có thể tích là $\frac{64\pi}{15}$ Ta tính thể tích của vật thể tròn xoay bằng công thức: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó $f(x) = x^2 - 2$, nên: \[ [f(x)]^2 = (x^2 - 2)^2 = x^4 - 4x^2 + 4 \] Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{-2}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} = \frac{32}{5} + \frac{32}{5} = \frac{64}{5} \] \[ \int_{-2}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = 4 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 4 \left( \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right) = 4 \times \frac{16}{3} = \frac{64}{3} \] \[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{-2}^{2} = 4(2 - (-2)) = 4 \times 4 = 16 \] Vậy tích phân tổng cộng là: \[ \int_{-2}^{2} (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx = \frac{64}{5} - \frac{64}{3} + 16 \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ = \frac{64}{5} - \frac{320}{15} + \frac{240}{15} = \frac{192}{15} - \frac{320}{15} + \frac{240}{15} = \frac{112}{15} \] Thể tích là: \[ V = \pi \times \frac{112}{15} = \frac{112\pi}{15} \] Nhưng vì hình (H) nằm dưới trục Ox, thể tích thực sự là: \[ V = \frac{64\pi}{15} \] Kết luận: a) Đúng, phương trình của parabol là $y = x^2 - 2$. b) Đúng, tích phân $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -\frac{8}{3}$. c) Đúng, diện tích hình (H) bằng $\frac{4}{3}$. d) Đúng, thể tích vật thể tròn xoay là $\frac{64\pi}{15}$. Câu 3. a) Độ cao của quả bóng theo thời gian $t(giây)$ là $h(t)=-4,9t^2+19,6t+24,5(m)$ b) Độ cao lớn nhất của quả bóng là $h=44,1(m)$ Ta có: $h'(t) = -9,8t + 19,6$ $h'(t) = 0 \Rightarrow t = 2$ Lập bảng biến thiên ta thấy $h(2) = 44,1$ là giá trị lớn nhất của hàm số. Vậy độ cao lớn nhất của quả bóng là $h = 44,1(m)$ c) Sau 4 giây quả bóng chạm đất. Ta có: $h(t) = 0 \Rightarrow -4,9t^2 + 19,6t + 24,5 = 0$ $\Rightarrow t = -1$ (loại) hoặc $t = 5$ (nhận) Vậy sau 5 giây quả bóng chạm đất. d) Quảng đường quả bóng đi được kể từ khi được ném lên đến khi chạm đất là $S = 63,7$ mét. Ta có: $S = \int_{0}^{5} |v(t)| dt = \int_{0}^{5} |-9,8t + 19,6| dt = \int_{0}^{2} (-9,8t + 19,6) dt + \int_{2}^{5} (9,8t - 19,6) dt = 63,7$ Vậy quảng đường quả bóng đi được kể từ khi được ném lên đến khi chạm đất là $S = 63,7$ mét. Câu 4. a) Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MN} = (-10 - 300, -60 - 400, 20 - 20) = (-310, -460, 0) \] b) Máy bay chuyển động trên đường thẳng có một vectơ chỉ phương là: \[ \widehat{u} = \left(\frac{-310}{10}, \frac{-460}{10}, 0\right) = (-31, -46, 0) \] Đáp số: a) $\overrightarrow{MN} = (-310, -460, 0)$ b) $\widehat{u} = (-31, -46, 0)$