Phần xác suất

Câu 2. a) Xác suất của biến cố $\overline A$ là 0,7. - Biến cố $\overline A$ là biến cố "Học sinh được chọn là nam". - Tỉ lệ học sinh nữ là 70%, do đó tỉ lệ học sinh nam là 30%. - Vậy xác suất của biến cố $\overline A$ là 0,3. Suy ra Đáp án này sai. b) Xác suất của biến cố B là 0,49. - Tỉ lệ học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi là 35%. - Tỉ lệ học sinh nam đạt danh hiệu học sinh giỏi là 60%. - Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = 0,7 \times 0,35 + 0,3 \times 0,6 = 0,245 + 0,18 = 0,425 \] Suy ra Đáp án này sai. c) A và B là hai biến cố độc lập. - Để kiểm tra hai biến cố A và B có độc lập hay không, ta cần kiểm tra xem \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). - Xác suất của biến cố A là 0,7. - Xác suất của biến cố B là 0,425. - Xác suất của biến cố \(A \cap B\) (học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh giỏi) là: \[ P(A \cap B) = 0,7 \times 0,35 = 0,245 \] - Ta thấy rằng \(0,245 \neq 0,7 \times 0,425\). Suy ra Đáp án này sai. d) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là $\frac{5}{7}$. - Xác suất của biến cố A với điều kiện B là: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,245}{0,425} = \frac{245}{425} = \frac{49}{85} \] Suy ra Đáp án này sai. Vậy tất cả các đáp án đều sai. Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi trong số những học sinh thức dậy sớm để học bài, so với tỉ lệ chung của học sinh đạt điểm giỏi. Bước 1: Xác định tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi và tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài. - Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi là 10%, tức là $\frac{10}{100} = 0,1$. - Tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài là 30%, tức là $\frac{30}{100} = 0,3$. Bước 2: Xác định tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi và thức dậy sớm để học bài. - Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi và thức dậy sớm để học bài là 20%, tức là $\frac{20}{100} = 0,2$. Bước 3: Tính tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi trong số những học sinh thức dậy sớm để học bài. - Tỉ lệ này được tính bằng cách chia tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi và thức dậy sớm để học bài cho tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài: \[ \text{Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi trong số những học sinh thức dậy sớm để học bài} = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3} \approx 0,67 \] Bước 4: So sánh tỉ lệ này với tỉ lệ chung của học sinh đạt điểm giỏi để tìm ra việc thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi bao nhiêu lần. - Tỉ lệ này so với tỉ lệ chung của học sinh đạt điểm giỏi là: \[ \frac{0,67}{0,1} = 6,7 \] Vậy, theo kết quả điều tra trên, việc thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi lên khoảng 6,7 lần. Đáp số: 6,7 lần. Câu 16. Gọi N là sự kiện "ngẫu nhiên chọn được người nghiện thuốc lá", $\overline{N}$ là sự kiện "ngẫu nhiên chọn được người không nghiện thuốc lá", P là sự kiện "ngẫu nhiên chọn được người mắc bệnh phổi", $\overline{P}$ là sự kiện "ngẫu nhiên chọn được người không mắc bệnh phổi". Theo đề bài ta có: $P(N) = 0,25; P(P|N) = 0,72; P(\overline{P}|\overline{N}) = 0,86$ Suy ra $P(\overline{N}) = 1 - P(N) = 0,75$ $P(P|N) = 1 - P(\overline{P}|N) = 1 - 0,86 = 0,14$ Vậy xác suất để người đó mắc bệnh phổi là: $P(P) = P(N).P(P|N) + P(\overline{N}).P(P|\overline{N}) = 0,25.0,72 + 0,75.0,14 = 0,285$ Đáp số: 0,285 Câu 1: Số cách chọn 1 viên bi xanh ở lần thứ nhất là 30. Sau khi lấy ra 1 viên bi xanh ở lần thứ nhất thì số cách chọn 1 viên bi trắng ở lần thứ hai là 20. Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là: 50 × 49 = 2450 (cách) Xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là: \frac{30 × 20}{2450} ≈ 0,24 Đáp số: 0,24 Câu 2 Gọi A là biến cố "Người đó mắc bệnh X". Gọi B là biến cố "Người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y". Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,002 P($\overline{A}$) = 1 - P(A) = 0,998 P(B|A) = 1 P(B|$\overline{A}$) = 0,06 Xác suất người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là: P(B) = P(A) × P(B|A) + P($\overline{A}$) × P(B|$\overline{A}$) = 0,002 × 1 + 0,998 × 0,06 = 0,0608 Xác suất người đó mắc bệnh X khi có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y là: P(A|B) = $\frac{P(A) × P(B|A)}{P(B)}$ = $\frac{0,002 × 1}{0,0608}$ ≈ 0,033 Vậy xác suất người đó mắc bệnh X là khoảng 3,3%. Câu 16. Để tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định xác suất để bác Mai chọn mỗi chuồng: - Số chấm trên xúc xắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Số chấm chia hết cho 3 là 3 và 6, tức là có 2 trường hợp. - Số chấm không chia hết cho 3 là 1, 2, 4, 5, tức là có 4 trường hợp. Do đó: - Xác suất chọn chuồng I là $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. - Xác suất chọn chuồng II là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. 2. Xác định xác suất để bác Mai bắt được con gà mái từ mỗi chuồng: - Chuồng I có 5 con gà mái và 2 con gà trống, tổng cộng 7 con gà. - Chuồng II có 3 con gà mái và 5 con gà trống, tổng cộng 8 con gà. Do đó: - Xác suất bắt được con gà mái từ chuồng I là $\frac{5}{7}$. - Xác suất bắt được con gà mái từ chuồng II là $\frac{3}{8}$. 3. Tính xác suất tổng cộng để bác Mai bắt được con gà mái: - Xác suất chọn chuồng I và bắt được con gà mái là $\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$. - Xác suất chọn chuồng II và bắt được con gà mái là $\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$. Tổng xác suất là: \[ \frac{5}{21} + \frac{1}{4} = \frac{20}{84} + \frac{21}{84} = \frac{41}{84} \approx 0.49 \] Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là khoảng 0.49 hoặc 49%. Câu 16: Gọi A là biến cố "Chọn ra một người có bệnh nền", $\overline{A}$ là biến cố "Chọn ra một người không có bệnh nền". Gọi B là biến cố "Người được chọn có phản ứng phụ sau khi tiêm vaccine". Theo đề bài ta có: P(A) = 0,18; P($\overline{A}$) = 1 - P(A) = 0,82; P(B|A) = 0,35; P(B|$\overline{A}$) = 0,16. Xác suất để người được chọn có phản ứng phụ sau khi tiêm vaccine là: P(B) = P(A).P(B|A) + P($\overline{A}$).P(B|$\overline{A}$) = 0,18 × 0,35 + 0,82 × 0,16 = 0,2098. Xác suất để người này có bệnh nền là: P(A|B) = $\frac{P(A).P(B|A)}{P(B)}$ = $\frac{0,18×0,35}{0,2098}$ ≈ 0,30. Đáp số: 0,30. Câu 2. Xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình có thể xảy ra theo hai trường hợp: - Trường hợp 1: An ném trước và ném trượt, sau đó đến lượt Bình ném. - Trường hợp 2: Bình ném trước và ném trúng, sau đó Bình ném tiếp. Xác suất của từng trường hợp: - Trường hợp 1: Xác suất An ném trước là 0,5 và xác suất An ném trượt là 0,6. Vậy xác suất của trường hợp này là \(0,5 \times 0,6 = 0,3\). - Trường hợp 2: Xác suất Bình ném trước là 0,5 và xác suất Bình ném trúng là 0,6. Vậy xác suất của trường hợp này là \(0,5 \times 0,6 = 0,3\). Tổng xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình là: \[0,3 + 0,3 = 0,6\] Đáp số: 0,6 Câu 1. Tổng số cách chọn 2 tấm thẻ từ 10 tấm thẻ là: \[ C_{10}^{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45 \] Gọi A là biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ chia hết cho 6". A xảy ra khi tích của hai số ghi trên hai thẻ chia hết cho cả 2 và 3. Các cặp số chia hết cho 2 và 3 là: (2; 3), (2; 6), (2; 9), (3; 4), (3; 6), (3; 8), (3; 10), (4; 6), (4; 9), (6; 7), (6; 8), (6; 9), (6; 10), (8; 9) Số cặp số chia hết cho 2 và 3 là 14 cặp. Vậy xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ chia hết cho 6 là: \[ P(A) = \frac{14}{45} \approx 0,31 \] Đáp số: 0,31 Câu 2. Tổng số cách để chia 8 viên bi vào 3 hộp là $3^8$ (vì mỗi viên bi có 3 lựa chọn hộp để vào). Số cách để có 1 hộp chứa 4 viên bi, 2 hộp còn lại mỗi hộp chứa 2 viên bi: - Chọn 1 trong 3 hộp để chứa 4 viên bi: $\binom{3}{1} = 3$ cách. - Chọn 4 trong 8 viên bi để bỏ vào hộp đã chọn: $\binom{8}{4} = 70$ cách. - Chia 4 viên bi còn lại vào 2 hộp còn lại, mỗi hộp 2 viên: $\binom{4}{2} = 6$ cách. Vậy số cách để có 1 hộp chứa 4 viên bi, 2 hộp còn lại mỗi hộp chứa 2 viên bi là: \[ 3 \times 70 \times 6 = 1260 \] Xác suất của biến cố này là: \[ \frac{1260}{3^8} = \frac{1260}{6561} \approx 0,192 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ 0,192 \approx 0,19 \] Đáp số: 0,19 Câu 3: Số cách chọn 1 viên bi xanh từ 30 viên bi xanh là: \[ C_{30}^{1} = 30 \] Số cách chọn 1 viên bi trắng từ 20 viên bi trắng là: \[ C_{20}^{1} = 20 \] Số cách chọn 2 viên bi từ 50 viên bi là: \[ C_{50}^{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225 \] Xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là: \[ P = \frac{C_{30}^{1} \times C_{20}^{1}}{C_{50}^{2}} = \frac{30 \times 20}{1225} \approx 0.49 \] Đáp số: 0.49