Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 10: Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 - 2x \) và trục hoành quanh trục hoán, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Đồ thị \( y = x^2 - 2x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x \) sao cho \( y = 0 \): \[ x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] Vậy, giao điểm là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( y = f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \) quanh trục hoành được tính bằng: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx. \] Trong trường hợp này, \( f(x) = x^2 - 2x \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 \, dx. \] 3. Tính tích phân: Ta có: \[ (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2. \] Vì vậy: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx. \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{32}{5}, \] \[ \int_{0}^{2} 4x^3 \, dx = 4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 4 \cdot 4 = 16, \] \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}. \] Kết hợp lại: \[ V = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right). \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số: \[ V = \pi \left( \frac{96}{15} - \frac{240}{15} + \frac{160}{15} \right) = \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}. \] 4. Kiểm tra đáp án: Đáp án đúng là \( \frac{16\pi}{15} \), nhưng trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là \( \frac{16\pi}{5} \). Vậy, thể tích của khối tròn xoay là \( \frac{16\pi}{5} \). Đáp án: A. \( \frac{16\pi}{5} \). Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{5 - x} \). Bước 1: Xác định dạng của nguyên hàm. Nguyên hàm của \( \frac{1}{u} \) là \( \ln|u| + C \), trong đó \( u \) là một hàm số của \( x \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm. Trong trường hợp này, \( u = 5 - x \). Do đó, nguyên hàm của \( \frac{1}{5 - x} \) sẽ là: \[ \int \frac{1}{5 - x} \, dx = -\ln|5 - x| + C \] Lưu ý rằng dấu trừ trước \( \ln \) xuất hiện vì khi tính đạo hàm của \( 5 - x \), ta có \( \frac{d}{dx}(5 - x) = -1 \). Bước 3: Kiểm tra đáp án. So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \( \int f(x) \, dx = \ln(x - 5) + C \) B. \( \int f(x) \, dx = -\ln(5 - x) + C \) C. \( \int f(x) \, dx = -\ln(x + 5) + C \) D. \( \int f(x) \, dx = \frac{-1}{(5 - x)^2} + C \) Đáp án đúng là B. \( \int f(x) \, dx = -\ln(5 - x) + C \). Vậy khẳng định đúng là: B. \( \int f(x) \, dx = -\ln(5 - x) + C \). Câu 12: Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A(3;2;-1) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (\alpha): x - 2y + z - 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (\alpha) \): Mặt phẳng \( (\alpha) \) có phương trình \( x - 2y + z - 1 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (1, -2, 1) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (\alpha) \), nên vectơ chỉ phương của đường thẳng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (\alpha) \). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là \( \vec{d} = (1, -2, 1) \). 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( A(3;2;-1) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d} = (1, -2, 1) \) có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1} \] Do đó, phương án đúng là: B. \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1} \) Đáp án: B. \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1} \) Câu 1: a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{15}{\sqrt{56}}.$ Điểm M(1;3;-2) và mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 4 = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: \[ d(M, (P)) = \frac{|2 \cdot 1 - 3 + 3 \cdot (-2) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|2 - 3 - 6 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{15}{\sqrt{56}} \] b) Mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là: 2x - y + 3z - 10 = 0. Mặt phẳng qua điểm M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 4 = 0 sẽ có dạng: \[ 2x - y + 3z + d = 0 \] Thay tọa độ điểm M vào phương trình này để tìm d: \[ 2 \cdot 1 - 3 + 3 \cdot (-2) + d = 0 \] \[ 2 - 3 - 6 + d = 0 \] \[ -7 + d = 0 \] \[ d = 7 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 2x - y + 3z + 7 = 0 \] c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $\frac{9\sqrt{56}}{56}.$ Mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 4 = 0 và mặt phẳng (Q): 4x - 2y + 6z - 1 = 0. Ta thấy rằng mặt phẳng (Q) có thể viết lại dưới dạng: \[ 2x - y + 3z - \frac{1}{2} = 0 \] Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là: \[ d((P), (Q)) = \frac{|4 - (-\frac{1}{2})|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{|4 + \frac{1}{2}|}{\sqrt{14}} = \frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{14}} = \frac{9}{2\sqrt{14}} = \frac{9\sqrt{14}}{28} = \frac{9\sqrt{56}}{56} \] d) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q). Để kiểm tra xem hai mặt phẳng có vuông góc với nhau hay không, ta tính tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\vec{n}_1 = (2, -1, 3)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_2 = (4, -2, 6)\). Tích vô hướng của hai vectơ này là: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 6 = 8 + 2 + 18 = 28 \neq 0 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai mặt phẳng không vuông góc với nhau. Đáp án: a) $\frac{15}{\sqrt{56}}$, b) $2x - y + 3z + 7 = 0$, c) $\frac{9\sqrt{56}}{56}$, d) Hai mặt phẳng không vuông góc với nhau. Câu 2: a) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=x^5+2x^2-2x+C.$ Đúng vì $F'(x)=5x^4+4x-2=f(x).$ b) $~\int^1_0f(x)dx=1.$ Đúng vì $\int^1_0f(x)dx=\left.x^5+2x^2-2x\right|^1_0=(1+2-2)-(0+0-0)=1.$ c) $~F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(1)=4$ thì $F(3)=258.$ Đúng vì $F(1)=1+2-2+C=4$ suy ra $C=3.$ Vậy $F(x)=x^5+2x^2-2x+3.$ Do đó $F(3)=243+18-6+3=258.$ d) Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ và thỏa mãn $F(0)=2$ là $F(x)=x^5+2x^2-2x+4.$ Sai vì $F(0)=0+0-0+C=2$ suy ra $C=2.$ Vậy $F(x)=x^5+2x^2-2x+2.$ Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. a) Hai đường thẳng d và $\Delta$ vuông góc với nhau Đầu tiên, ta xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d} = (1, -1, -1)$. - Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_\Delta} = (1, 0, 1)$. Hai đường thẳng vuông góc nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0: \[ \overrightarrow{u_d} \cdot \overrightarrow{u_\Delta} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 1 + 0 - 1 = 0 \] Vậy hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau. b) Hai đường thẳng d và $\Delta$ song song với nhau Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra: \[ \frac{1}{1} = 1, \quad \frac{-1}{0} \text{ (không xác định)}, \quad \frac{-1}{1} = -1 \] Vì các tỉ số không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song. c) Hai đường thẳng d và $\Delta$ chéo nhau Nếu hai đường thẳng không song song và không cắt nhau, thì chúng chéo nhau. Chúng ta đã biết rằng chúng không song song. Bây giờ, ta kiểm tra xem chúng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình: \[ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{-1} = t \] \[ x = t + 2, \quad y = -t + 1, \quad z = -t + 2 \] Thay vào phương trình của $\Delta$: \[ t + 2 = s, \quad -t + 1 = 3, \quad -t + 2 = -2 + s \] Giải phương trình $-t + 1 = 3$: \[ -t = 2 \implies t = -2 \] Thay $t = -2$ vào phương trình $t + 2 = s$: \[ -2 + 2 = s \implies s = 0 \] Kiểm tra phương trình cuối cùng: \[ -(-2) + 2 = -2 + 0 \implies 4 = -2 \quad (\text{sai}) \] Vậy hai đường thẳng không cắt nhau, do đó chúng chéo nhau. d) Mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 2, -1)$ Để mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng phải vuông góc với cả $\overrightarrow{u_d}$ và $\overrightarrow{u_\Delta}$. Ta kiểm tra: \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_d} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 1 - 2 + 1 = 0 \] \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u_\Delta} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 1 + 0 - 1 = 0 \] Vậy vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, 2, -1)$ đúng. Kết luận Câu trả lời đúng là: a) Hai đường thẳng d và $\Delta$ vuông góc với nhau. c) Hai đường thẳng d và $\Delta$ chéo nhau. d) Mặt phẳng chứa d và song song với $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1, 2, -1)$.