cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Các đường cao AD,BF,CE tại H a)kể tên các tứ giác nội tiếp (chứng minh ) b) AD cắt (O) tại điểm thứ hai là K.KE cắt (O) tại I ,CI cắt EF tại N chứng minh CEN=EIC c...

a) Các tứ giác nội tiếp: - Tứ giác AFHE: Vì $\angle AFH = \angle AEH = 90^\circ$ (cùng chắn cung AH) - Tứ giác BFHD: Vì $\angle BFD = \angle BHD = 90^\circ$ (cùng chắn cung BD) - Tứ giác CEHD: Vì $\angle CED = \angle CHD = 90^\circ$ (cùng chắn cung CD) b) Chứng minh $\angle CEN = \angle EIC$: - Ta có $\angle CEN = \angle CEF$ (vì N nằm trên EF) - $\angle CEF = \angle CAF$ (cùng chắn cung CF) - $\angle CAF = \angle CIK$ (cùng chắn cung CK) - $\angle CIK = \angle EIC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CK) Do đó, $\angle CEN = \angle EIC$ c) Chứng minh $CE \cdot CE = CN \cdot CI$: - Ta có $\angle CEN = \angle EIC$ (chứng minh ở phần b) - Do đó, tam giác CEN và tam giác EIC đồng dạng (góc-góc) - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{CE}{CI} = \frac{CN}{CE}$ - Suy ra: $CE \cdot CE = CN \cdot CI$ d) Chứng minh BM vuông góc với EF: - Ta có OM vuông góc với BC tại M, do đó M là trung điểm của BC. - Tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp là P, do đó P nằm trên đường trung trực của EF. - Đường trung trực của EF đi qua trung điểm của EF và vuông góc với EF. - Vì M là trung điểm của BC và P nằm trên đường trung trực của EF, nên BM vuông góc với EF. e) Chứng minh M, N, P thẳng hàng: - Ta có M là trung điểm của BC và N nằm trên EF. - P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, do đó P nằm trên đường trung trực của EF. - Vì M là trung điểm của BC và N nằm trên EF, nên đường thẳng MN sẽ đi qua trung điểm của EF. - Đường trung trực của EF đi qua trung điểm của EF và vuông góc với EF, do đó P nằm trên đường thẳng này. - Vậy M, N, P thẳng hàng. Đáp số: a) Tứ giác AFHE, BFHD, CEHD b) $\angle CEN = \angle EIC$ c) $CE \cdot CE = CN \cdot CI$ d) BM vuông góc với EF e) M, N, P thẳng hàng