jfhhdjmjmmhmhmh

Câu 1: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \), chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì chia cho số 0 là vô nghĩa. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ x - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x \neq 1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: Tập xác định của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 1 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{3x - 1}$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm. Do đó, ta có điều kiện: \[ 3x - 1 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 3x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{3} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \left[ \frac{1}{3}; +\infty \right) \] Do đó, đáp án đúng là: A. $D = \left[ \frac{1}{3}; +\infty \right)$ Câu 3: Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb R$, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho. A. $y = x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a = 1$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb R$. B. $y = -2x$ - Đây cũng là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a = -2$ và $b = 0$. - Vì $a < 0$, hàm số này nghịch biến trên $\mathbb R$. C. $y = 2x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a = 2$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb R$. D. $y = \frac{1}{2}x$ - Đây là hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với $a = \frac{1}{2}$ và $b = 0$. - Vì $a > 0$, hàm số này đồng biến trên $\mathbb R$. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số $y = -2x$ là nghịch biến trên $\mathbb R$. Vậy đáp án đúng là: B. $y = -2x$. Câu 4: Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là \( y = ax^2 + bx + c \), trong đó \( a \neq 0 \). A. \( y = -5x^3 - 5x^2 - 3 \) - Đây là hàm đa thức bậc ba vì có số mũ lớn nhất của \( x \) là 3. B. \( y = \frac{1 - x}{3 - 5x} \) - Đây là hàm phân thức, không phải là hàm bậc hai. C. \( y = -3x + \sqrt{-5x - 5} \) - Đây là hàm số có căn thức, không phải là hàm bậc hai. D. \( y = -x^2 - 5x - 3 \) - Đây là hàm bậc hai vì có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = -5 \), và \( c = -3 \). Do đó, hàm số đúng là hàm số bậc hai là: D. \( y = -x^2 - 5x - 3 \). Câu 5: Để tìm tọa độ đỉnh của parabol \( y = -2x^2 - 4x + 6 \), ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \): Tọa độ đỉnh \( I \left( -\frac{b}{2a}, f\left( -\frac{b}{2a} \right) \right) \). Trong đó: - \( a = -2 \) - \( b = -4 \) - \( c = 6 \) Bước 1: Tính hoành độ đỉnh \( x_I \): \[ x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times (-2)} = -\frac{4}{4} = -1 \] Bước 2: Thay \( x_I = -1 \) vào phương trình \( y = -2x^2 - 4x + 6 \) để tính tung độ đỉnh \( y_I \): \[ y_I = -2(-1)^2 - 4(-1) + 6 \] \[ y_I = -2(1) + 4 + 6 \] \[ y_I = -2 + 4 + 6 \] \[ y_I = 8 \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \( I(-1, 8) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( I(-1, 8) \). Câu 6: Để tính giá trị của hàm số \( f(x) = -2x^2 - x + 2 \) tại \( x = 4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( x = 4 \) vào biểu thức của hàm số: \[ f(4) = -2(4)^2 - 4 + 2 \] Bước 2: Tính giá trị của \( (4)^2 \): \[ (4)^2 = 16 \] Bước 3: Thay giá trị này vào biểu thức: \[ f(4) = -2 \cdot 16 - 4 + 2 \] Bước 4: Thực hiện phép nhân: \[ -2 \cdot 16 = -32 \] Bước 5: Thay kết quả nhân vào biểu thức: \[ f(4) = -32 - 4 + 2 \] Bước 6: Thực hiện phép trừ và cộng: \[ -32 - 4 = -36 \] \[ -36 + 2 = -34 \] Vậy, giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 4 \) là: \[ f(4) = -34 \] Do đó, đáp án đúng là: A. -34. Câu 7: Để hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần đảm bảo rằng đồ thị của hàm số này không cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành. Điều này tương đương với việc phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép nằm ở phía trên trục hoành. Cụ thể: 1. Điều kiện về hệ số \(a\): - Để đồ thị của hàm số \(f(x)\) mở ra phía trên (như một parabol), hệ số \(a\) phải lớn hơn 0, tức là \(a > 0\). 2. Điều kiện về biệt thức \(\Delta\): - Để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) không có nghiệm thực, biệt thức \(\Delta\) phải nhỏ hơn 0, tức là \(\Delta < 0\). Do đó, điều kiện cần và đủ để \(f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \underline{D. \left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{array} \right.} \] Câu 8: Ta xét tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a > 0$ và $\Delta \leq 0$. - Điều kiện $\Delta \leq 0$ có nghĩa là tam thức bậc hai này không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. - Khi $\Delta < 0$, tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là đồ thị của nó không cắt trục hoành. - Khi $\Delta = 0$, tam thức bậc hai có nghiệm kép, tức là đồ thị của nó tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. Trong cả hai trường hợp trên, vì $a > 0$, nên parabol của tam thức bậc hai sẽ mở ra phía trên (như hình chữ U). Do đó: - Nếu $\Delta < 0$, tam thức luôn dương ($f(x) > 0$) vì đồ thị không cắt trục hoành. - Nếu $\Delta = 0$, tam thức sẽ bằng 0 tại điểm tiếp xúc với trục hoành và dương ở mọi điểm khác ($f(x) \geq 0$). Tóm lại, trong cả hai trường hợp, ta có $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: A. $f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Câu 9: Để giải bất phương trình \(x^2 + x - 12 < 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan: Ta giải phương trình \(x^2 + x - 12 = 0\) để tìm các điểm mà biểu thức \(x^2 + x - 12\) bằng 0. Phương trình này có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -12\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị vào: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \] 2. Xác định dấu của biểu thức \(x^2 + x - 12\) trên các khoảng: Biểu thức \(x^2 + x - 12\) là một parabol mở lên (vì hệ số \(a = 1 > 0\)). Do đó, biểu thức sẽ âm giữa hai nghiệm \(x = -4\) và \(x = 3\). 3. Xác định tập nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình \(x^2 + x - 12 < 0\) đúng khi \(x\) nằm trong khoảng giữa hai nghiệm \(x = -4\) và \(x = 3\). Vì vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (-4, 3) \] Đáp án: A. \(S = (-4, 3)\) Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn bất phương trình \( 3x^2 - 2x - 5 \leq 0 \). Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \). Phương trình \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \) là phương trình bậc hai. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -2 \), và \( c = -5 \). Thay vào công thức: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{2 \pm 8}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Bước 2: Xác định khoảng giá trị của \( x \) thỏa mãn \( 3x^2 - 2x - 5 \leq 0 \). Phương trình \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \) có hai nghiệm \( x = -1 \) và \( x = \frac{5}{3} \). Biểu thức \( 3x^2 - 2x - 5 \) là một parabol mở lên (vì hệ số \( a = 3 > 0 \)). Do đó, biểu thức này nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ -1 \leq x \leq \frac{5}{3} \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị đã cho: A. \( x = 1 \): \[ -1 \leq 1 \leq \frac{5}{3} \] (Thỏa mãn) B. \( x = 6 \): \[ 6 \not\leq \frac{5}{3} \] (Không thỏa mãn) C. \( x = -3 \): \[ -3 \not\geq -1 \] (Không thỏa mãn) D. \( x = -2 \): \[ -2 \not\geq -1 \] (Không thỏa mãn) Kết luận: Giá trị \( x = 1 \) là nghiệm của bất phương trình \( 3x^2 - 2x - 5 \leq 0 \). Đáp án: A. 1. Câu 11 Để giải phương trình $\sqrt{x^2-6x+6}=2x-1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có căn thức ở vế trái, do đó: \[ x^2 - 6x + 6 \geq 0 \] \[ 2x - 1 \geq 0 \] Từ điều kiện thứ hai, ta có: \[ 2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2} \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức \[ (\sqrt{x^2-6x+6})^2 = (2x-1)^2 \] \[ x^2 - 6x + 6 = 4x^2 - 4x + 1 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và giản ước \[ x^2 - 6x + 6 - 4x^2 + 4x - 1 = 0 \] \[ -3x^2 - 2x + 5 = 0 \] \[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = 2 \), \( c = -5 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 8}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Với \( x = 1 \): \[ 1 \geq \frac{1}{2} \] (thỏa mãn) \[ \sqrt{1^2 - 6 \cdot 1 + 6} = 2 \cdot 1 - 1 \] \[ \sqrt{1 - 6 + 6} = 2 - 1 \] \[ \sqrt{1} = 1 \] (thỏa mãn) - Với \( x = -\frac{5}{3} \): \[ -\frac{5}{3} \geq \frac{1}{2} \] (không thỏa mãn) Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là \( x = 1 \). Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \( S = \{1\} \).