Giải chi tiết

Câu 1. Để tính diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ, ta cần xác định diện tích của hai miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2$, đường thẳng $y = g(x) = mx + n$, và các trục tọa độ. Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng $y = mx + n$ - Điểm $(3, 9)$ thuộc đồ thị hàm số $y = x^2$ và cũng nằm trên đường thẳng $y = mx + n$. Thay vào ta có: \[ 9 = 3m + n \] - Điểm $(6, 36)$ thuộc đồ thị hàm số $y = x^2$ và cũng nằm trên đường thẳng $y = mx + n$. Thay vào ta có: \[ 36 = 6m + n \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3m + n = 9 \\ 6m + n = 36 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (6m + n) - (3m + n) = 36 - 9 \] \[ 3m = 27 \] \[ m = 9 \] Thay $m = 9$ vào phương trình $3m + n = 9$: \[ 3(9) + n = 9 \] \[ 27 + n = 9 \] \[ n = -18 \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ y = 9x - 18 \] Bước 2: Tính diện tích phần gạch chéo Diện tích phần gạch chéo là diện tích giữa đường thẳng $y = 9x - 18$ và parabol $y = x^2$ từ $x = 3$ đến $x = 6$. Diện tích này được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{3}^{6} [(9x - 18) - x^2] \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \int_{3}^{6} (9x - 18 - x^2) \, dx \] \[ S = \left[ \frac{9x^2}{2} - 18x - \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{6} \] Tính giá trị tại các cận: \[ S = \left( \frac{9(6)^2}{2} - 18(6) - \frac{(6)^3}{3} \right) - \left( \frac{9(3)^2}{2} - 18(3) - \frac{(3)^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{9 \cdot 36}{2} - 108 - \frac{216}{3} \right) - \left( \frac{9 \cdot 9}{2} - 54 - \frac{27}{3} \right) \] \[ S = \left( 162 - 108 - 72 \right) - \left( 40.5 - 54 - 9 \right) \] \[ S = (-18) - (-22.5) \] \[ S = 4.5 \] Vậy diện tích phần gạch chéo là: \[ \boxed{4.5} \] Câu 2. Để tính tích phân \( I = \int_{-2}^{3} \frac{2x - 3}{x - 4} \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Phân tích phân thức trong tích phân: \[ \frac{2x - 3}{x - 4} = 2 + \frac{5}{x - 4} \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{-2}^{3} \left( 2 + \frac{5}{x - 4} \right) \, dx \] \[ I = \int_{-2}^{3} 2 \, dx + \int_{-2}^{3} \frac{5}{x - 4} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{-2}^{3} 2 \, dx = 2 \int_{-2}^{3} 1 \, dx = 2 [x]_{-2}^{3} = 2 (3 - (-2)) = 2 \times 5 = 10 \] \[ \int_{-2}^{3} \frac{5}{x - 4} \, dx = 5 \int_{-2}^{3} \frac{1}{x - 4} \, dx = 5 [\ln |x - 4|]_{-2}^{3} = 5 (\ln |3 - 4| - \ln |-2 - 4|) = 5 (\ln 1 - \ln 6) = 5 (0 - \ln 6) = -5 \ln 6 \] Bước 4: Kết hợp kết quả: \[ I = 10 - 5 \ln 6 \] So sánh với dạng \( I = a + b \ln 6 \): \[ a = 10 \] \[ b = -5 \] Bước 5: Tính \( a - b \): \[ a - b = 10 - (-5) = 10 + 5 = 15 \] Vậy, \( a - b = 15 \). Đáp số: \( a - b = 15 \). Câu 3. Để tính quãng đường mà vật chuyển động từ giây thứ 4 đến giây thứ 10, ta cần tính tích phân của vận tốc theo thời gian trong khoảng từ 4 đến 10. Bước 1: Xác định hàm vận tốc \( v(t) = 2t^2 + 6 \). Bước 2: Tính quãng đường \( s \) bằng cách tích phân vận tốc từ thời điểm \( t = 4 \) đến \( t = 10 \): \[ s = \int_{4}^{10} v(t) \, dt = \int_{4}^{10} (2t^2 + 6) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân từng phần: \[ \int (2t^2 + 6) \, dt = 2 \int t^2 \, dt + 6 \int 1 \, dt \] \[ = 2 \left( \frac{t^3}{3} \right) + 6t + C \] \[ = \frac{2t^3}{3} + 6t + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân: \[ s = \left[ \frac{2t^3}{3} + 6t \right]_{4}^{10} \] \[ = \left( \frac{2(10)^3}{3} + 6(10) \right) - \left( \frac{2(4)^3}{3} + 6(4) \right) \] \[ = \left( \frac{2000}{3} + 60 \right) - \left( \frac{128}{3} + 24 \right) \] \[ = \left( \frac{2000}{3} + \frac{180}{3} \right) - \left( \frac{128}{3} + \frac{72}{3} \right) \] \[ = \frac{2180}{3} - \frac{200}{3} \] \[ = \frac{1980}{3} \] \[ = 660 \] Vậy quãng đường mà vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là 660 mét. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(1, 2, 3) \) và cắt các trục \( Ox, Oy, Oz \) lần lượt tại các điểm \( A, B, C \). Ta giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \] Trong đó \( A(a, 0, 0) \), \( B(0, b, 0) \), \( C(0, 0, c) \). 2. Thay tọa độ điểm \( M \) vào phương trình mặt phẳng: Vì \( M(1, 2, 3) \) nằm trên mặt phẳng (P), ta thay tọa độ của \( M \) vào phương trình mặt phẳng: \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \] 3. Biểu thức cần tối thiểu: Biểu thức cần tối thiểu là: \[ \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \] 4. Áp dụng phương pháp Lagrange để tối thiểu hóa biểu thức: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(a, b, c) = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \) dưới ràng buộc \( g(a, b, c) = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 = 0 \). Xây dựng hàm Lagrange: \[ L(a, b, c, \lambda) = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \lambda \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 \right) \] Đạo hàm riêng và đặt chúng bằng 0: \[ \frac{\partial L}{\partial a} = -\frac{2}{a^3} - \frac{\lambda}{a^2} = 0 \implies \lambda = -\frac{2}{a} \] \[ \frac{\partial L}{\partial b} = -\frac{2}{b^3} - \frac{2\lambda}{b^2} = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{b} \] \[ \frac{\partial L}{\partial c} = -\frac{2}{c^3} - \frac{3\lambda}{c^2} = 0 \implies \lambda = -\frac{2}{3c} \] Từ đây ta có: \[ -\frac{2}{a} = -\frac{1}{b} = -\frac{2}{3c} \] Giải hệ phương trình này: \[ \frac{2}{a} = \frac{1}{b} \implies b = \frac{a}{2} \] \[ \frac{2}{a} = \frac{2}{3c} \implies c = \frac{a}{3} \] 5. Thay vào ràng buộc: Thay \( b = \frac{a}{2} \) và \( c = \frac{a}{3} \) vào ràng buộc: \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{\frac{a}{2}} + \frac{3}{\frac{a}{3}} = 1 \] \[ \frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1 \] \[ \frac{14}{a} = 1 \implies a = 14 \] Do đó: \[ b = \frac{14}{2} = 7, \quad c = \frac{14}{3} \] 6. Phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng (P) là: \[ \frac{x}{14} + \frac{y}{7} + \frac{z}{\frac{14}{3}} = 1 \] Nhân cả hai vế với 14: \[ x + 2y + 3z = 14 \] So sánh với phương trình \( ax - 2y + bz + c = 0 \): \[ a = 1, \quad b = 3, \quad c = -14 \] 7. Tính \( a + b + c \): \[ a + b + c = 1 + 3 - 14 = -10 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{-10} \] Câu 5. Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là $(1, 1, 1)$. - Tọa độ của điểm B là $(1, 3, -5)$. - Trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + (-5)}{2} \right) = (1, 2, -2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 3 - 1, -5 - 1) = (0, 2, -6) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (0, 2, -6)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, với vectơ pháp tuyến $(a, b, c) = (0, 2, -6)$. - Thay tọa độ của trung điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm $d$: \[ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 6 \cdot (-2) + d = 0 \implies 4 + 12 + d = 0 \implies d = -16 \] - Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ 0x + 2y - 6z - 16 = 0 \] 4. So sánh với phương trình đã cho: - Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $0x + 2y - 6z - 16 = 0$. - So sánh với phương trình đã cho $ax + by - cz - 16 = 0$, ta có: \[ a = 0, \quad b = 2, \quad c = 6 \] 5. Tính $a + b + c$: \[ a + b + c = 0 + 2 + 6 = 8 \] Vậy $a + b + c = 8$. Câu 6. Để tính $\int^2_0(3x^2+\sqrt x)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của $3x^2 + \sqrt{x}$. \[ \int (3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int \sqrt{x} \, dx \] Bước 2: Tính từng phần nguyên hàm. \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{3/2} \] Bước 3: Kết hợp lại để có nguyên hàm tổng. \[ \int (3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = x^3 + \frac{2}{3} x^{3/2} \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm đã tìm được. \[ \left[ x^3 + \frac{2}{3} x^{3/2} \right]^2_0 = \left( 2^3 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} \right) - \left( 0^3 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) \] \[ = 8 + \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = 8 + \frac{4\sqrt{2}}{3} \] Bước 5: So sánh với dạng $\frac{a + b\sqrt{2}}{3}$. \[ 8 + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{24 + 4\sqrt{2}}{3} \] Từ đó suy ra $a = 24$ và $b = 4$. Vậy giá trị của $a + b$ là: \[ a + b = 24 + 4 = 28 \] Đáp số: $a + b = 28$.