hãy giúp toi

Câu 18. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + 1 \) là: \[ F(x) = -\cos x + x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0 \). Thay \( x = \frac{\pi}{6} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{6} + C \] Biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có: \[ F\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + C \] Theo điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0 \), ta có: \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + C = 0 \] Giải ra \( C \): \[ C = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = -\cos x + x + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right) \] Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \) là: \[ F(x) = -\cos x + x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \] Câu 19. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2024 - \sin^2 \frac{x}{2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = 2024 - \sin^2 \frac{x}{2} \] Áp dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \] Do đó: \[ f(x) = 2024 - \frac{1 - \cos x}{2} = 2024 - \frac{1}{2} + \frac{\cos x}{2} = 2023.5 + \frac{\cos x}{2} \] Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \int \left( 2023.5 + \frac{\cos x}{2} \right) dx \] \[ F(x) = 2023.5x + \frac{\sin x}{2} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2025 \). Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2} + C \] \[ 2025 = 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + C \] Giải phương trình này để tìm \( C \): \[ 2025 = 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} + 0.5 + C \] \[ 2025 = 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} + 0.5 + C \] \[ C = 2025 - 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} - 0.5 \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. Nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2024 - \sin^2 \frac{x}{2} \) là: \[ F(x) = 2023.5x + \frac{\sin x}{2} + 2025 - 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} - 0.5 \] Đáp số: \[ F(x) = 2023.5x + \frac{\sin x}{2} + 2024.5 - 2023.5 \cdot \frac{\pi}{2} \] Câu 20. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin^2 \frac{x}{4} \cdot \cos^2 \frac{x}{4} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi biểu thức \( f(x) \) thành dạng đơn giản hơn bằng cách sử dụng công thức nhân đôi: \[ \sin^2 \frac{x}{4} \cdot \cos^2 \frac{x}{4} = \left( \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} \right)^2 \] Áp dụng công thức nhân đôi \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \): \[ \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \] Do đó: \[ \left( \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 \frac{x}{2} \] Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc để chuyển đổi \( \sin^2 \frac{x}{2} \): \[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \] Do đó: \[ f(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1}{8} (1 - \cos x) \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int \frac{1}{8} (1 - \cos x) \, dx \] \[ F(x) = \frac{1}{8} \int (1 - \cos x) \, dx \] \[ F(x) = \frac{1}{8} \left( \int 1 \, dx - \int \cos x \, dx \right) \] \[ F(x) = \frac{1}{8} \left( x - \sin x \right) + C \] \[ F(x) = \frac{x}{8} - \frac{\sin x}{8} + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{3} \right) = 0 \): \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\frac{\pi}{3}}{8} - \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{8} + C = 0 \] \[ \frac{\pi}{24} - \frac{\sqrt{3}}{16} + C = 0 \] \[ C = \frac{\sqrt{3}}{16} - \frac{\pi}{24} \] Bước 5: Viết lại nguyên hàm cuối cùng: \[ F(x) = \frac{x}{8} - \frac{\sin x}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} - \frac{\pi}{24} \] Đáp số: \[ F(x) = \frac{x}{8} - \frac{\sin x}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} - \frac{\pi}{24} \] Câu 21. Để tính giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \), chúng ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) và sử dụng điều kiện \( F(0) = 2 \). Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{ nếu } x \geq 1 \\ 3x^2 + 4 & \text{ nếu } x < 1 \end{cases} \] Tìm nguyên hàm \( F(x) \): 1. Với \( x \geq 1 \): \[ f(x) = 2x + 5 \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2x + 5) \, dx = x^2 + 5x + C_1 \] 2. Với \( x < 1 \): \[ f(x) = 3x^2 + 4 \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (3x^2 + 4) \, dx = x^3 + 4x + C_2 \] Xác định hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) bằng điều kiện \( F(0) = 2 \): - Khi \( x = 0 \), ta có \( F(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 + C_2 = 2 \) \[ C_2 = 2 \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) trong khoảng \( x < 1 \) là: \[ F(x) = x^3 + 4x + 2 \] - Để đảm bảo liên tục tại \( x = 1 \), ta cần \( F(1) \) từ cả hai phía phải bằng nhau: \[ F(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 + C_1 = 1 + 5 + C_1 = 6 + C_1 \] \[ F(1) = 1^3 + 4 \cdot 1 + 2 = 1 + 4 + 2 = 7 \] Suy ra: \[ 6 + C_1 = 7 \] \[ C_1 = 1 \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) trong khoảng \( x \geq 1 \) là: \[ F(x) = x^2 + 5x + 1 \] Tính giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \): - Với \( x = -1 \) (thuộc \( x < 1 \)): \[ F(-1) = (-1)^3 + 4(-1) + 2 = -1 - 4 + 2 = -3 \] - Với \( x = 2 \) (thuộc \( x \geq 1 \)): \[ F(2) = 2^2 + 5 \cdot 2 + 1 = 4 + 10 + 1 = 15 \] - Tính \( 2F(2) \): \[ 2F(2) = 2 \cdot 15 = 30 \] - Cuối cùng, tính \( F(-1) + 2F(2) \): \[ F(-1) + 2F(2) = -3 + 30 = 27 \] Vậy giá trị của \( F(-1) + 2F(2) \) là: \[ \boxed{27} \] Câu 22. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). 2. Xác định hằng số trong nguyên hàm dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). 3. Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2^x \). Nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ F(x) = \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{2^0}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} + C \] Theo điều kiện \( F(0) = \frac{1}{\ln 2} \), ta có: \[ \frac{1}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} \] Suy ra: \[ C = 0 \] Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức \( T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019) \). Biểu thức \( T \) trở thành: \[ T = \sum_{k=0}^{2019} F(k) = \sum_{k=0}^{2019} \frac{2^k}{\ln 2} \] Ta có thể tách hằng số \( \frac{1}{\ln 2} \) ra ngoài tổng: \[ T = \frac{1}{\ln 2} \sum_{k=0}^{2019} 2^k \] Tổng \( \sum_{k=0}^{2019} 2^k \) là tổng của dãy số lũy thừa cơ sở 2 từ 0 đến 2019. Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = 2 \). Công thức tính tổng của cấp số nhân là: \[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sum_{k=0}^{2019} 2^k = 1 \cdot \frac{2^{2020} - 1}{2 - 1} = 2^{2020} - 1 \] Vậy: \[ T = \frac{1}{\ln 2} (2^{2020} - 1) \] Đáp số: \[ T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln 2} \] Câu 23. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). 2. Xác định giá trị của \( F(x) \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = k \). 3. Tính giá trị của biểu thức \( T = F(0) + F(\pi) + F(2\pi) + \ldots + F(10\pi) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). Ta biết rằng: \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C \] Do đó, \( F(x) = \tan x + C \). Bước 2: Xác định giá trị của \( F(x) \) dựa trên điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = k \). Thay vào ta có: \[ F\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) + C = k \] Biết rằng \( \tan\left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) = 1 \) (vì \( \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \) và \( \tan \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( \pi \)), ta có: \[ 1 + C = k \] \[ C = k - 1 \] Vậy \( F(x) = \tan x + k - 1 \). Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( T = F(0) + F(\pi) + F(2\pi) + \ldots + F(10\pi) \). Ta thấy rằng \( \tan(n\pi) = 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{Z} \). Do đó: \[ F(n\pi) = \tan(n\pi) + k - 1 = 0 + k - 1 = k - 1 \] Vậy: \[ F(0) = -1 \] \[ F(\pi) = -1 \] \[ F(2\pi) = -1 \] \[ \vdots \] \[ F(10\pi) = -1 \] Có tổng cộng 11 số hạng trong biểu thức \( T \), mỗi số hạng đều bằng \(-1\): \[ T = (-1) + (-1) + (-1) + \ldots + (-1) = -1 \times 11 = -11 \] Đáp số: \( T = -11 \). Câu 24. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) \). 2. Xác định hằng số trong hàm số \( f(x) \) bằng điều kiện \( f(1) = 3 \). 3. Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \). 4. Xác định hằng số trong nguyên hàm \( F(x) \) bằng điều kiện \( F(0) = 2 \). 5. Tính giá trị của \( F(1) \). Bước 1: Tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) \). Ta có: \[ f'(x) = 12x^2 + 2 \] Tích phân hai vế để tìm \( f(x) \): \[ f(x) = \int (12x^2 + 2) \, dx \] \[ f(x) = 12 \int x^2 \, dx + 2 \int 1 \, dx \] \[ f(x) = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 2x + C \] \[ f(x) = 4x^3 + 2x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng điều kiện \( f(1) = 3 \). Thay \( x = 1 \) vào \( f(x) \): \[ f(1) = 4(1)^3 + 2(1) + C = 3 \] \[ 4 + 2 + C = 3 \] \[ 6 + C = 3 \] \[ C = 3 - 6 \] \[ C = -3 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 4x^3 + 2x - 3 \] Bước 3: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \). Ta có: \[ F(x) = \int f(x) \, dx \] \[ F(x) = \int (4x^3 + 2x - 3) \, dx \] \[ F(x) = 4 \int x^3 \, dx + 2 \int x \, dx - 3 \int 1 \, dx \] \[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + D \] \[ F(x) = x^4 + x^2 - 3x + D \] Bước 4: Xác định hằng số \( D \) bằng điều kiện \( F(0) = 2 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = (0)^4 + (0)^2 - 3(0) + D = 2 \] \[ 0 + 0 - 0 + D = 2 \] \[ D = 2 \] Vậy nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = x^4 + x^2 - 3x + 2 \] Bước 5: Tính giá trị của \( F(1) \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = (1)^4 + (1)^2 - 3(1) + 2 \] \[ F(1) = 1 + 1 - 3 + 2 \] \[ F(1) = 1 \] Vậy giá trị của \( F(1) \) là: \[ \boxed{1} \] Câu 25. Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 3 - 5 \sin x \) và \( f(0) = 10 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tích phân \( f'(x) \) để tìm \( f(x) \). \[ f(x) = \int (3 - 5 \sin x) \, dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần. \[ f(x) = \int 3 \, dx - \int 5 \sin x \, dx \] \[ f(x) = 3x + C_1 - (-5 \cos x) + C_2 \] \[ f(x) = 3x + 5 \cos x + C \] Trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Bước 3: Áp dụng điều kiện ban đầu \( f(0) = 10 \) để xác định hằng số \( C \). \[ f(0) = 3(0) + 5 \cos(0) + C = 10 \] \[ 0 + 5 \cdot 1 + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] Bước 4: Thay \( C \) vào biểu thức của \( f(x) \). \[ f(x) = 3x + 5 \cos x + 5 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 3x + 5 \cos x + 5 \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. \( f(x) = 3x + 5 \cos x + 5 \) Đáp án: C. \( f(x) = 3x + 5 \cos x + 5 \) Câu 26. Để tìm hàm số \( f(x) \) khi biết đạo hàm \( f'(x) = 2e^{2x} + 1 \) và \( f(0) = 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tích phân đạo hàm để tìm hàm số ban đầu. \[ f(x) = \int (2e^{2x} + 1) \, dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần. \[ f(x) = \int 2e^{2x} \, dx + \int 1 \, dx \] - Tích phân \( \int 2e^{2x} \, dx \): \[ \int 2e^{2x} \, dx = 2 \cdot \frac{e^{2x}}{2} = e^{2x} \] - Tích phân \( \int 1 \, dx \): \[ \int 1 \, dx = x \] Vậy: \[ f(x) = e^{2x} + x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Bước 3: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( f(0) = 2 \). \[ f(0) = e^{2 \cdot 0} + 0 + C = 1 + C \] Theo đề bài, \( f(0) = 2 \), nên: \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] Bước 4: Viết lại hàm số \( f(x) \) đầy đủ. \[ f(x) = e^{2x} + x + 1 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ \boxed{D. \ y = e^{2x} + x + 1} \] Câu 27. Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 2 - 5 \sin x \) và \( f(0) = 10 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tích phân \( f'(x) \) để tìm \( f(x) \). \[ f(x) = \int (2 - 5 \sin x) \, dx \] Bước 2: Tính tích phân từng phần. \[ f(x) = \int 2 \, dx - \int 5 \sin x \, dx \] \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + C \] Bước 3: Áp dụng điều kiện ban đầu \( f(0) = 10 \) để tìm hằng số \( C \). \[ f(0) = 2(0) + 5 \cos(0) + C = 10 \] \[ 0 + 5 \cdot 1 + C = 10 \] \[ 5 + C = 10 \] \[ C = 5 \] Bước 4: Viết lại hàm số \( f(x) \) đầy đủ. \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \] Vậy hàm số \( f(x) \) thỏa mãn điều kiện đã cho là: \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \] Do đó, mệnh đề đúng là: \[ f(x) = 2x + 5 \cos x + 5 \]