giúp tớ với

Câu 9. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 5 \), \( y = 6x \), \( x = 0 \), và \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường cong \( y = x^2 + 5 \) và \( y = 6x \): \[ x^2 + 5 = 6x \] \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 5 \quad \text{và} \quad x = 1 \] Vì \( x = 5 \) nằm ngoài khoảng \( [0, 1] \), ta chỉ quan tâm đến \( x = 1 \). 2. Tính diện tích S: Diện tích S được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ S = \int_{0}^{1} [(6x) - (x^2 + 5)] \, dx \] \[ S = \int_{0}^{1} (6x - x^2 - 5) \, dx \] 3. Tính tích phân: \[ S = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} - 5x \right]_{0}^{1} \] Đánh giá tại các cận: \[ S = \left( 3(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - 5(1) \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} - 5(0) \right) \] \[ S = \left( 3 - \frac{1}{3} - 5 \right) - 0 \] \[ S = 3 - \frac{1}{3} - 5 \] \[ S = -2 - \frac{1}{3} \] \[ S = -\frac{6}{3} - \frac{1}{3} \] \[ S = -\frac{7}{3} \] Do diện tích không thể âm, ta lấy giá trị tuyệt đối: \[ S = \frac{7}{3} \] Vậy diện tích S là \( \frac{7}{3} \). Đáp án đúng là B. \( \frac{7}{3} \). Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về đạo hàm và nguyên hàm trong vật lý học. Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu - Gia tốc của vật là \( a(t) = 2 \cos t \). - Vận tốc ban đầu \( v(0) \) chưa được cung cấp, giả sử nó là \( v_0 \). Bước 2: Tính vận tốc theo thời gian - Vận tốc \( v(t) \) là nguyên hàm của gia tốc \( a(t) \): \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 2 \cos t \, dt = 2 \sin t + C \] - Để xác định hằng số \( C \), ta sử dụng điều kiện ban đầu \( v(0) = v_0 \): \[ v(0) = 2 \sin 0 + C = v_0 \Rightarrow C = v_0 \] - Vậy vận tốc theo thời gian là: \[ v(t) = 2 \sin t + v_0 \] Bước 3: Tính vị trí theo thời gian - Vị trí \( s(t) \) là nguyên hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (2 \sin t + v_0) \, dt = -2 \cos t + v_0 t + D \] - Để xác định hằng số \( D \), ta sử dụng điều kiện ban đầu \( s(0) = s_0 \): \[ s(0) = -2 \cos 0 + v_0 \cdot 0 + D = s_0 \Rightarrow D = s_0 + 2 \] - Vậy vị trí theo thời gian là: \[ s(t) = -2 \cos t + v_0 t + s_0 + 2 \] Tóm lại, vận tốc và vị trí của vật theo thời gian là: \[ v(t) = 2 \sin t + v_0 \] \[ s(t) = -2 \cos t + v_0 t + s_0 + 2 \]