Djdjehdjdndnndnd $3)~A(-3,5;4)~B(-1;1;2)~(P)~2x-y+3=0~(Q).~4x+y+z-1=0$,a) Viết ptgua OAB.,b) Viết pt mp lớp của B, H(Q). Sau đó tính d (co), (Q)),c) Viết ptnp' (B) qua A và HCl), I (2),$d)~ptmp^2~(R)~q.~aa~B~và\bot AB~là~ax-4y+bz+c=$,e) Tính K° cách từ A đến (Q)

Question

Djdjehdjdndnndnd $3)~A(-3,5;4)~B(-1;1;2)~(P)~2x-y+3=0~(Q).~4x+y+z-1=0$,a) Viết ptgua OAB.,b) Viết pt mp lớp của B, H(Q). Sau đó tính d (co), (Q)),c) Viết ptnp&#x27; (B) qua A và HCl), I (2),$d)~ptmp^2~(R)~q.~aa~B~và\bot AB~là~ax-4y+bz+c=$,e) Tính K° cách từ A đến (Q)

noquangquyet · Accepted Answer

a) $\displaystyle \overrightarrow{OA} =( -3;\ 5;\ 4)$; $\displaystyle \overrightarrow{OB} =( -1;\ 1;\ 2)$
⟹$\displaystyle \vec{n} =[\overrightarrow{OA} ,\overrightarrow{OB}] =( 6;\ 2;\ 2) =( 3;\ 1;\ 1)$
⟹(OAB): $\displaystyle 3( x+3) +1( y-5) +1( z-4) =0$
$\displaystyle ( OAB) :3x+y+z=0$
b) ($\displaystyle \alpha ) //( Q)$ nên: $\displaystyle ( \alpha ) :4x+y+z+d=0$
($\displaystyle \alpha )$ đi qua B(-1; 1; 2) nên ta có:
$\displaystyle 4.( -1) +1+2+d=0$
$\displaystyle d=2$
⟹($\displaystyle \alpha ) :( \alpha ) :4x+y+z+2=0\ $
d($\displaystyle ( \alpha ) ,( Q)) =d( B,( Q)) =\frac{|4.( -1) +1.1+2-1|}{\sqrt{4^{2} +1^{2} +1^{2}}} =\frac{2}{\sqrt{18}} =\frac{\sqrt{2}}{3}$

Timi · Answer

a) Ta có $\overrightarrow{OA} = (-3, 5, 4)$ và $\overrightarrow{OB} = (-1, 1, 2)$. Mặt phẳng $(OAB)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$.

Tính $\vec{n}$:
$$
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-3 & 5 & 4 \
-1 & 1 & 2
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot 2 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j}(-3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-3 \cdot 1 - 5 \cdot (-1))
$$
$$
= \mathbf{i}(10 - 4) - \mathbf{j}(-6 + 4) + \mathbf{k}(-3 + 5)
$$
$$
= 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}
$$

Phương trình mặt phẳng $(OAB)$ là:
$$
6x + 2y + 2z = 0
$$

b) Mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B(-1, 1, 2)$ và song song với mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $4x + y + z - 1 = 0$. Vì $(\alpha)$ song song với $(Q)$, nên vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ cũng là $(4, 1, 1)$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$
4(x + 1) + 1(y - 1) + 1(z - 2) = 0
$$
$$
4x + 4 + y - 1 + z - 2 = 0
$$
$$
4x + y + z + 1 = 0
$$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(Q)$ là:
$$
d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{16 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}
$$

c) Mặt phẳng $(\beta)$ qua điểm $A(-3, 5, 4)$ và vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$. Vectơ pháp tuyến của $(\beta)$ là tích véc-tơ của vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$:
$$
\vec{n}_P = (2, -1, 0), \quad \vec{n}_Q = (4, 1, 1)
$$
$$
\vec{n}_{\beta} = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & -1 & 0 \
4 & 1 & 1
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 4) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 4)
$$
$$
= -1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
$$

Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ là:
$$
-(x + 3) - 2(y - 5) + 6(z - 4) = 0
$$
$$
-x - 3 - 2y + 10 + 6z - 24 = 0
$$
$$
-x - 2y + 6z - 17 = 0
$$

d) Mặt phẳng $(R)$ qua điểm $B(-1, 1, 2)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-1 + 3, 1 - 5, 2 - 4) = (2, -4, -2)$. Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:
$$
2(x + 1) - 4(y - 1) - 2(z - 2) = 0
$$
$$
2x + 2 - 4y + 4 - 2z + 4 = 0
$$
$$
2x - 4y - 2z + 10 = 0
$$

Ta có $a = 2$, $b = -4$, $c = -2$, $d = 10$. Vậy $a - b^2 - c = 2 - (-4)^2 - (-2) = 2 - 16 + 2 = -12$.

e) Khoảng cách từ điểm $A(-3, 5, 4)$ đến mặt phẳng $(Q)$ là:
$$
d = \frac{|4(-3) + 1(5) + 1(4) - 1|}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-12 + 5 + 4 - 1|}{\sqrt{16 + 1 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
$$

Đáp số:
a) $6x + 2y + 2z = 0$
b) $4x + y + z + 1 = 0$, $d = \frac{\sqrt{2}}{3}$
c) $-x - 2y + 6z - 17 = 0$
d) $-12$
e) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$