giup minhh

Câu 3. Để tính $\int e^x \cdot e^{x+1} \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Gộp các biểu thức mũ lại với nhau: \[ e^x \cdot e^{x+1} = e^{x + (x+1)} = e^{2x+1} \] Bước 2: Tính tích phân của $e^{2x+1}$: \[ \int e^{2x+1} \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân của hàm mũ: \[ \int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C \] Trong đó, $a = 2$ và $b = 1$. Bước 4: Thay vào công thức: \[ \int e^{2x+1} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{2} e^{2x+1} + C} \] Do đó, lựa chọn đúng là: A. $\frac{1}{2} e^{2x+1} + C$ Câu 4. Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng \( d: \frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{3} \), ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. A. Điểm \( P(-1; 2; 1) \): - Thay \( x = -1 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \) vào phương trình: \[ \frac{-1 + 1}{-1} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{1 - 1}{3} \] \[ \frac{0}{-1} = \frac{0}{3} = \frac{0}{3} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Điểm \( P \) thỏa mãn phương trình đường thẳng. B. Điểm \( N(-1; 3; 2) \): - Thay \( x = -1 \), \( y = 3 \), \( z = 2 \) vào phương trình: \[ \frac{-1 + 1}{-1} = \frac{3 - 2}{3} = \frac{2 - 1}{3} \] \[ \frac{0}{-1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] \[ 0 \neq \frac{1}{3} \] Điểm \( N \) không thỏa mãn phương trình đường thẳng. C. Điểm \( Q(1; -2; -1) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = -2 \), \( z = -1 \) vào phương trình: \[ \frac{1 + 1}{-1} = \frac{-2 - 2}{3} = \frac{-1 - 1}{3} \] \[ \frac{2}{-1} = \frac{-4}{3} = \frac{-2}{3} \] \[ -2 \neq \frac{-4}{3} \] Điểm \( Q \) không thỏa mãn phương trình đường thẳng. D. Điểm \( M(1; 2; 1) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \) vào phương trình: \[ \frac{1 + 1}{-1} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{1 - 1}{3} \] \[ \frac{2}{-1} = \frac{0}{3} = \frac{0}{3} \] \[ -2 \neq 0 \] Điểm \( M \) không thỏa mãn phương trình đường thẳng. Vậy điểm thuộc đường thẳng \( d \) là điểm \( P(-1; 2; 1) \). Đáp án đúng là: A. \( P(-1; 2; 1) \). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$ Bước 2: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx = \int^1_0 \left(2e^x + \frac{3}{e^x}\right) dx \] Bước 3: Tính từng phần của tích phân: \[ \int^1_0 2e^x dx + \int^1_0 \frac{3}{e^x} dx \] Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^1_0 2e^x dx = 2 \left[ e^x \right]^1_0 = 2(e - 1) \] \[ \int^1_0 \frac{3}{e^x} dx = 3 \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = 3(-e^{-1} + 1) = 3(1 - \frac{1}{e}) \] Bước 5: Cộng lại các kết quả: \[ 2(e - 1) + 3(1 - \frac{1}{e}) = 2e - 2 + 3 - \frac{3}{e} = 2e + 1 - \frac{3}{e} \] Bước 6: Viết dưới dạng phân số: \[ 2e + 1 - \frac{3}{e} = \frac{2e^2 + e - 3}{e} \] Bước 7: So sánh với dạng $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ để tìm $m$, $n$, và $p$: \[ \frac{2e^2 + e - 3}{e} = \frac{m.e^2+n.e+p}{e} \] Do đó, $m = 2$, $n = 1$, và $p = -3$. Bước 8: Tính $m + 2n - p$: \[ m + 2n - p = 2 + 2(1) - (-3) = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là A. 7. Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là \( A(4, 1, -2) \). - Tọa độ của điểm B là \( B(5, 9, 3) \). Trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M\left(\frac{4 + 5}{2}, \frac{1 + 9}{2}, \frac{-2 + 3}{2}\right) = M\left(\frac{9}{2}, 5, \frac{1}{2}\right) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 4, 9 - 1, 3 - (-2)) = (1, 8, 5) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1, 8, 5)\). 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \(d\) là hằng số. - Thay tọa độ của trung điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm \(d\): \[ 1 \cdot \frac{9}{2} + 8 \cdot 5 + 5 \cdot \frac{1}{2} + d = 0 \] \[ \frac{9}{2} + 40 + \frac{5}{2} + d = 0 \] \[ \frac{9 + 5}{2} + 40 + d = 0 \] \[ \frac{14}{2} + 40 + d = 0 \] \[ 7 + 40 + d = 0 \] \[ 47 + d = 0 \] \[ d = -47 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ x + 8y + 5z - 47 = 0 \] Đáp án đúng là: D. \( x + 8y + 5z - 47 = 0 \) Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 + \cos x \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 2 \) là \( 2x \). - Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau và thêm hằng số \( C \) vào cuối. \[ \int f(x) \, dx = \int (2 + \cos x) \, dx = 2x + \sin x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: A. \( \int f(x) \, dx = 2x + \sin x + C \) Đáp án: A. \( \int f(x) \, dx = 2x + \sin x + C \) Câu 8. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; -6; 2)$ được viết dưới dạng: \[ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 0 - 6t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \] với $t$ là tham số. Đáp số: \[ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \]