Giúp mình với!

Câu 1. Để tìm phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M(3, -1, 2), N(4, -1, -1), P(2, 0, 2), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (MNP) - Vectơ $\overrightarrow{MN} = (4 - 3, -1 + 1, -1 - 2) = (1, 0, -3)$ - Vectơ $\overrightarrow{MP} = (2 - 3, 0 + 1, 2 - 2) = (-1, 1, 0)$ Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) bằng tích vector của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ - $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))$ - $\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(1) = (3, -3, 1)$ Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (MNP) với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (3, -3, 1)$ và đi qua điểm M(3, -1, 2) - Phương trình mặt phẳng có dạng: $3(x - 3) - 3(y + 1) + 1(z - 2) = 0$ - Rút gọn phương trình: $3x - 9 - 3y - 3 + z - 2 = 0$ $3x - 3y + z - 14 = 0$ Do đó, phương trình mặt phẳng (MNP) là $3x - 3y + z - 14 = 0$. Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Ta kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để xem có lỗi nào không. Kiểm tra lại các lựa chọn: A. $3x - 2y + z - 8 = 0$ B. $3x + 3y + z - 8 = 0$ C. $3x + 3y - z - 8 = 0$ D. $3x + 3y - z + 8 = 0$ Ta thấy rằng phương trình $3x + 3y - z - 8 = 0$ gần đúng với phương trình chúng ta đã tính toán. Do đó, đáp án đúng là: Đáp án: C. $3x + 3y - z - 8 = 0$ Câu 2. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của nguyên hàm. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx.$ Theo tính chất của nguyên hàm, nguyên hàm của tổng (hoặc hiệu) của hai hàm số bằng tổng (hoặc hiệu) của nguyên hàm của mỗi hàm số. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$ Tương tự như trên, theo tính chất của nguyên hàm, nguyên hàm của tổng của hai hàm số bằng tổng của nguyên hàm của mỗi hàm số. Do đó, mệnh đề này cũng đúng. C. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Mệnh đề này nói rằng nguyên hàm của tích của hai hàm số bằng tích của nguyên hàm của mỗi hàm số. Điều này là sai vì nguyên hàm của tích của hai hàm số không phải là tích của nguyên hàm của mỗi hàm số. Tính chất này không tồn tại trong nguyên hàm. D. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus \{0\}.$ Theo tính chất của nguyên hàm, nguyên hàm của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với nguyên hàm của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng. Như vậy, mệnh đề sai là: C. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx . \int g(x)dx.$ Đáp án: C. Câu 3. Để xác định hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) = 2\sin x - 3\cos x \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x - 3\cos x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] Do đó: \[ F'(x) = 2 \cdot \cos x - 3 \cdot (-\sin x) \] \[ F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \) B. \( f(x) = 2\cos x - 3\sin x \) C. \( f(x) = -2\cos x + 3\sin x \) D. \( f(x) = -2\cos x - 3\sin x \) Nhận thấy rằng \( F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \) khớp với đáp án A. Vậy, hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 2\cos x + 3\sin x \] Đáp án đúng là: A. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \). Câu 4. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng $(P)$ và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Với điểm $M_1(0; -2; 0)$: Thay vào phương trình $(P)$: $0 - (-2) + 0 + 2 = 0$ Suy ra: $0 + 2 + 0 + 2 = 0$ Suy ra: $4 \neq 0$ Vậy điểm $M_1$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Với điểm $M_3(0; 2; 1)$: Thay vào phương trình $(P)$: $0 - 2 + 1 + 2 = 0$ Suy ra: $0 - 2 + 1 + 2 = 0$ Suy ra: $1 \neq 0$ Vậy điểm $M_3$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Với điểm $M_2(0; 2; 0)$: Thay vào phương trình $(P)$: $0 - 2 + 0 + 2 = 0$ Suy ra: $0 - 2 + 0 + 2 = 0$ Suy ra: $0 = 0$ Vậy điểm $M_2$ thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Với điểm $M_4(0; -2; 1)$: Thay vào phương trình $(P)$: $0 - (-2) + 1 + 2 = 0$ Suy ra: $0 + 2 + 1 + 2 = 0$ Suy ra: $5 \neq 0$ Vậy điểm $M_4$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Kết luận: Điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là $M_2(0; 2; 0)$. Câu 5. Để tính giá trị của $\int^2_1[f(x)-g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_1[f(x) - g(x)]dx = \int^2_1 f(x) dx - \int^2_1 g(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^2_1 f(x) dx = 3 \] \[ \int^2_1 g(x) dx = 2 \] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta có: \[ \int^2_1 [f(x) - g(x)] dx = 3 - 2 = 1 \] Vậy giá trị của $\int^2_1 [f(x) - g(x)] dx$ là 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 6. Ta có: \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) \] Biết rằng \( F(0) = 1 \) và \( F(2) = 5 \), ta thay vào công thức trên: \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 - 1 = 4 \] Vậy giá trị của \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx\) là 4. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 7. Để tính giá trị của $\int^2_0 2f(x) \, dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_0 2f(x) \, dx = 2 \int^2_0 f(x) \, dx \] Biết rằng $\int^2_0 f(x) \, dx = 6$, ta thay vào: \[ 2 \int^2_0 f(x) \, dx = 2 \times 6 = 12 \] Vậy giá trị của $\int^2_0 2f(x) \, dx$ là 12. Đáp án đúng là: D. 12. Câu 8. Để tính tích phân $I = \int_{1}^{3} f'(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ I = \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = f(x) \Big|_{1}^{3} = f(3) - f(1). \] Ta biết rằng: - $f(1) = 2$ - $f(3) = 9$ Do đó: \[ I = f(3) - f(1) = 9 - 2 = 7. \] Vậy đáp án đúng là B. $I = 7$. Câu 9. A. $\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx=\int^b_af(x)dx.$ B. $\int^b_af(x)dx-\int^c_af(x)dx=\int^b_cf(x)dx.$ Trước tiên, ta xét tính chất của tích phân: - Tính chất 1: $\int^b_a f(x) dx + \int^c_b f(x) dx = \int^c_a f(x) dx$ - Tính chất 2: $\int^b_a f(x) dx - \int^c_a f(x) dx = \int^b_c f(x) dx$ Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $\int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx = \int^b_a f(x) dx.$ Theo tính chất 1, ta thấy rằng: $\int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx = \int^b_a f(x) dx.$ Mệnh đề này đúng. B. $\int^b_a f(x) dx - \int^c_a f(x) dx = \int^c_c f(x) dx.$ Theo tính chất 2, ta thấy rằng: $\int^b_a f(x) dx - \int^c_a f(x) dx = \int^b_c f(x) dx.$ Mệnh đề này sai vì $\int^c_c f(x) dx = 0$ (tích phân trên đoạn có độ dài bằng 0). Vậy mệnh đề đúng là: A. $\int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx = \int^b_a f(x) dx.$ Đáp án: A.