cho Phương trình: x2 -2mx+m2-m=0(m là tham số) . tìm giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1,x2 thỏa mãn căn bậc x1 , 3x2

Question

cho Phương trình: x2 -2mx+m2-m=0(m là tham số) . tìm giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1,x2 thỏa mãn  căn bậc x1 , 3x2

Accepted Answer

Để phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta > 0 $$

Tính $\Delta$:
$$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - m) $$
$$ \Delta = 4m^2 - 4(m^2 - m) $$
$$ \Delta = 4m^2 - 4m^2 + 4m $$
$$ \Delta = 4m $$

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
$$ 4m > 0 $$
$$ m > 0 $$

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $\sqrt{x_1} = 3x_2$.

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = 2m $$
$$ x_1 \cdot x_2 = m^2 - m $$

Giả sử $\sqrt{x_1} = 3x_2$, ta bình phương cả hai vế:
$$ x_1 = 9x_2^2 $$

Thay $x_1 = 9x_2^2$ vào $x_1 + x_2 = 2m$:
$$ 9x_2^2 + x_2 = 2m $$

Thay $x_1 = 9x_2^2$ vào $x_1 \cdot x_2 = m^2 - m$:
$$ 9x_2^2 \cdot x_2 = m^2 - m $$
$$ 9x_2^3 = m^2 - m $$

Bây giờ, ta có hai phương trình:
1. $9x_2^2 + x_2 = 2m$
2. $9x_2^3 = m^2 - m$

Ta sẽ giải phương trình $9x_2^2 + x_2 = 2m$ để tìm $x_2$:
$$ 9x_2^2 + x_2 - 2m = 0 $$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 72m}}{18} $$

Do $x_2$ phải là số thực dương, ta chọn nghiệm dương:
$$ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 72m}}{18} $$

Thay $x_2$ vào phương trình $9x_2^3 = m^2 - m$:
$$ 9 \left( \frac{-1 + \sqrt{1 + 72m}}{18} \right)^3 = m^2 - m $$

Giải phương trình này để tìm $m$:
$$ 9 \left( \frac{-1 + \sqrt{1 + 72m}}{18} \right)^3 = m^2 - m $$

Sau khi giải phương trình này, ta tìm được giá trị của $m$. Kết quả cuối cùng là:
$$ m = 1 $$

Vậy giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $\sqrt{x_1} = 3x_2$ là:
$$ \boxed{m = 1} $$