Làm chi tiết câu 11 Câu 11. (1,0 điểm): Cho phương trình $x^2-7x+m-1=0~(m$ là tham số). Tìm m để phương trình,đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: $\sqrt{x_1}+\sqrt{x^2_2-6x_2+m-1}=3$,$x_1,x_2$

Question

Accepted Answer

Câu 11. Để phương trình $x^2 - 7x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần: 1. Đặt $f(x) = x^2 - 7x + m - 1$. Ta cần $f(0) > 0$ và $f(7) > 0$. 2. Điều kiện $\Delta > 0$ và $x_1 + x_2 > 0$. Từ $f(0) > 0$, ta có: $$ m - 1 > 0 \implies m > 1 $$ Từ $f(7) > 0$, ta có: $$ 49 - 49 + m - 1 > 0 \implies m - 1 > 0 \implies m > 1 $$ Từ $\Delta > 0$, ta có: $$ 49 - 4(m - 1) > 0 \implies 49 - 4m + 4 > 0 \implies 53 - 4m > 0 \implies m < \frac{53}{4} $$ Từ $x_1 + x_2 > 0$, ta có: $$ 7 > 0 $$ (luôn đúng) Do đó, điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: $$ 1 < m < \frac{53}{4} $$ Tiếp theo, ta xét điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2^2 - 6x_2 + m - 1} = 3$. Ta biết rằng $x_2^2 - 6x_2 + m - 1 = (x_2 - 3)^2 - 9 + m - 1 = (x_2 - 3)^2 + m - 10$. Do đó, ta có: $$ \sqrt{x_1} + \sqrt{(x_2 - 3)^2 + m - 10} = 3 $$ Vì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 7x + m - 1 = 0$, ta có: $$ x_1 + x_2 = 7 $$ $$ x_1 x_2 = m - 1 $$ Giả sử $x_1 = a^2$ và $x_2 = b^2$, ta có: $$ a^2 + b^2 = 7 $$ $$ a^2 b^2 = m - 1 $$ Và: $$ a + \sqrt{b^4 - 6b^2 + m - 1} = 3 $$ Ta thử các giá trị $a$ và $b$ sao cho $a^2 + b^2 = 7$ và $a + \sqrt{b^4 - 6b^2 + m - 1} = 3$. Thử $a = 1$ và $b = \sqrt{6}$: $$ 1 + \sqrt{(\sqrt{6})^4 - 6(\sqrt{6})^2 + m - 1} = 3 $$ $$ 1 + \sqrt{36 - 36 + m - 1} = 3 $$ $$ 1 + \sqrt{m - 1} = 3 $$ $$ \sqrt{m - 1} = 2 $$ $$ m - 1 = 4 $$ $$ m = 5 $$ Vậy giá trị của $m$ là: $$ \boxed{5} $$