Cho biểu thức P= (2sqrt(x) + 3)/(sqrt(x) + 3) + (3sqrt(x) - 2)/(sqrt(x) - 1) - 15 sqrt x -11 x+2 sqrt x -3 (voi x=0,x ne1).

1) Rút gọn P.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Question

Cho biểu thức P= (2sqrt(x) + 3)/(sqrt(x) + 3) + (3sqrt(x) - 2)/(sqrt(x) - 1) - 15 sqrt x -11 x+2 sqrt x -3 (voi x>=0,x ne1).

1) Rút gọn P.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức P

Biểu thức ban đầu:
$$ P = \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - 15\sqrt{x} - 11x + 2\sqrt{x} - 3 $$

Rút gọn từng phân thức:
- Ta thấy rằng phân thức $\frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$ có thể được rút gọn như sau:
$$ \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2(\sqrt{x} + 3) - 3}{\sqrt{x} + 3} = 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} $$

- Phân thức $\frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ cũng có thể được rút gọn như sau:
$$ \frac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{3(\sqrt{x} - 1) + 1}{\sqrt{x} - 1} = 3 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

Thay vào biểu thức P:
$$ P = \left(2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3}\right) + \left(3 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) - 15\sqrt{x} - 11x + 2\sqrt{x} - 3 $$

Kết hợp các hạng tử:
$$ P = 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + 3 + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - 15\sqrt{x} - 11x + 2\sqrt{x} - 3 $$
$$ P = 2 + 3 - 3 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - 15\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 11x $$
$$ P = 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - 13\sqrt{x} - 11x $$

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ P = 2 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - 13\sqrt{x} - 11x $$

Xét các giới hạn:
- Khi $ x \to 0 $:
  $$ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \to \frac{3}{3} = 1 $$
  $$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \to \text{không xác định} $$

- Khi $ x \to 1 $:
  $$ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \to \frac{3}{4} $$
  $$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \to \text{không xác định} $$

- Khi $ x \to \infty $:
  $$ \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \to 0 $$
  $$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \to 0 $$
  $$ -13\sqrt{x} - 11x \to -\infty $$

Do đó, biểu thức $ P $ sẽ tiến dần về $-\infty$ khi $ x \to \infty $.

Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của $ P $ không tồn tại vì $ P $ tiến dần về $-\infty$ khi $ x \to \infty $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ P $ không tồn tại.