cho phương trình x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0( với m là tham số ) tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ( với x1

Question

cho phương trình x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0( với m là tham số ) tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ( với x1<x2) thỏa mãn trị tuyệt đối x1=3 trị tuyệt đối x2

Accepted Answer

Để phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ (với $x_1 < x_2$) thỏa mãn $|x_1| = 3|x_2|$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi $b^2 - 4ac > 0$. Ở đây, $a = 1$, $b = -2(m+1)$, $c = m^2 + 2m$. Ta có: $$ b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 2m) $$ $$ = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 2m) $$ $$ = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) $$ $$ = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 8m $$ $$ = 4 $$ Vì $4 > 0$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. 2. Áp dụng điều kiện $|x_1| = 3|x_2|$: Giả sử $x_1 = -3x_2$ (vì $x_1 < x_2$). Tổng và tích của hai nghiệm: $$ x_1 + x_2 = 2(m+1) $$ $$ x_1 \cdot x_2 = m^2 + 2m $$ Thay $x_1 = -3x_2$ vào tổng: $$ -3x_2 + x_2 = 2(m+1) $$ $$ -2x_2 = 2(m+1) $$ $$ x_2 = -(m+1) $$ Thay $x_2 = -(m+1)$ vào tích: $$ (-3x_2) \cdot x_2 = m^2 + 2m $$ $$ -3(-(m+1))^2 = m^2 + 2m $$ $$ -3(m+1)^2 = m^2 + 2m $$ $$ -3(m^2 + 2m + 1) = m^2 + 2m $$ $$ -3m^2 - 6m - 3 = m^2 + 2m $$ $$ -3m^2 - 6m - 3 - m^2 - 2m = 0 $$ $$ -4m^2 - 8m - 3 = 0 $$ $$ 4m^2 + 8m + 3 = 0 $$ 3. Giải phương trình bậc hai $4m^2 + 8m + 3 = 0$: Áp dụng công thức nghiệm: $$ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $a = 4$, $b = 8$, $c = 3$: $$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} $$ $$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} $$ $$ m = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} $$ $$ m = \frac{-8 \pm 4}{8} $$ $$ m = \frac{-4}{8} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-12}{8} $$ $$ m = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{3}{2} $$ Vậy các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1| = 3|x_2|$ là: $$ m = -\frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{3}{2} $$