Giúp mình với ạ

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và nguyên hàm. Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( f(x) \). Biết rằng \( F(x) = x^3 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), tức là: \[ F'(x) = f(x) \] Do đó: \[ f(x) = 3x^2 \] Bước 2: Tính tích phân của \( 4 + f(x) \) từ 0 đến 2. Ta có: \[ \int_{0}^{2} [4 + f(x)] \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Bước 3: Tính từng phần tích phân. Tính tích phân của hằng số 4: \[ \int_{0}^{2} 4 \, dx = 4 \int_{0}^{2} 1 \, dx = 4[x]_{0}^{2} = 4(2 - 0) = 8 \] Tính tích phân của \( f(x) = 3x^2 \): \[ \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^3 \right]_{0}^{2} = 2^3 - 0^3 = 8 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại. \[ \int_{0}^{2} [4 + f(x)] \, dx = 8 + 8 = 16 \] Vậy giá trị của tích phân là: \[ \boxed{16} \] Đáp án đúng là: B. 16. Câu 2. Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$, ta có thể sử dụng phương pháp trực tiếp từ phương trình mặt phẳng đã cho. Phương trình mặt phẳng (P) được viết dưới dạng: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \] Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình này với 6 để loại bỏ các mẫu số: \[ 6 \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} \right) = 6 \cdot 1 \] \[ 3x + 2y + z = 6 \] Phương trình này có dạng tổng quát của mặt phẳng \(Ax + By + Cz = D\), trong đó \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 1\) và \(D = 6\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số \(A\), \(B\) và \(C\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n} = (3, 2, 1) \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến có thể là bội của vectơ trên. Ta kiểm tra các lựa chọn: A. \(\overrightarrow{n} = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)\) B. \(\overrightarrow{n} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)\) C. \(\overrightarrow{n} = (2, -3, 6)\) D. \(\overrightarrow{n} = (2, 3, 6)\) Ta thấy rằng vectơ \((2, 3, 6)\) là bội của vectơ \((3, 2, 1)\) với hệ số 2. Do đó, vectơ pháp tuyến đúng là: \[ \overrightarrow{n} = (2, 3, 6) \] Vậy đáp án đúng là: D. \(\overrightarrow{n} = (2, 3, 6)\) Câu 3. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) xung quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{0}^{1} y^2 dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} dx = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1) \] Đáp án đúng là: C. $\frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$ Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành: Hàm số $y = x^2 - \frac{m}{2}x$ cắt trục hoành tại các điểm mà $y = 0$. Do đó: \[ x^2 - \frac{m}{2}x = 0 \implies x(x - \frac{m}{2}) = 0 \] Vậy các giao điểm là $x = 0$ và $x = \frac{m}{2}$. 2. Tính diện tích $S_1$: Diện tích $S_1$ là diện tích giữa đồ thị (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \frac{m}{2}$. Ta có: \[ S_1 = \int_{0}^{\frac{m}{2}} \left( x^2 - \frac{m}{2}x \right) dx \] Tính tích phân: \[ S_1 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{mx^2}{4} \right]_{0}^{\frac{m}{2}} = \left( \frac{\left(\frac{m}{2}\right)^3}{3} - \frac{m\left(\frac{m}{2}\right)^2}{4} \right) - 0 = \frac{m^3}{24} - \frac{m^3}{16} = \frac{m^3}{48} \] 3. Tính diện tích $S_2$: Diện tích $S_2$ là diện tích giữa đồ thị (C), trục hoành, đường thẳng $x = \frac{m}{2}$ và đường thẳng $x = 4$. Ta có: \[ S_2 = \int_{\frac{m}{2}}^{4} \left| x^2 - \frac{m}{2}x \right| dx \] Vì $x^2 - \frac{m}{2}x < 0$ khi $\frac{m}{2} < x < 4$, nên: \[ S_2 = \int_{\frac{m}{2}}^{4} \left( \frac{m}{2}x - x^2 \right) dx \] Tính tích phân: \[ S_2 = \left[ \frac{mx^2}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{\frac{m}{2}}^{4} = \left( \frac{m \cdot 4^2}{4} - \frac{4^3}{3} \right) - \left( \frac{m \left(\frac{m}{2}\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{m}{2}\right)^3}{3} \right) \] \[ S_2 = \left( 4m - \frac{64}{3} \right) - \left( \frac{m^3}{16} - \frac{m^3}{24} \right) = 4m - \frac{64}{3} - \frac{m^3}{48} \] 4. Điều kiện $S_1 = S_2$: \[ \frac{m^3}{48} = 4m - \frac{64}{3} - \frac{m^3}{48} \] Nhân cả hai vế với 48 để loại bỏ mẫu số: \[ m^3 = 192m - 1024 - m^3 \] \[ 2m^3 = 192m - 1024 \] \[ m^3 - 96m + 512 = 0 \] 5. Giải phương trình $m^3 - 96m + 512 = 0$: Thử nghiệm các giá trị $m$ trong các đáp án: - $m = \frac{10}{3}$: $(\frac{10}{3})^3 - 96 \cdot \frac{10}{3} + 512 = \frac{1000}{27} - 320 + 512 \neq 0$ - $m = \frac{16}{3}$: $(\frac{16}{3})^3 - 96 \cdot \frac{16}{3} + 512 = \frac{4096}{27} - 512 + 512 = 0$ - $m = 3$: $3^3 - 96 \cdot 3 + 512 = 27 - 288 + 512 \neq 0$ - $m = 2$: $2^3 - 96 \cdot 2 + 512 = 8 - 192 + 512 \neq 0$ Vậy giá trị của $m$ sao cho $S_1 = S_2$ là $m = \frac{16}{3}$. Đáp án đúng là: B. $m = \frac{16}{3}$. Câu 5. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$, ta cần viết lại vectơ này dưới dạng tổng của các vectơ đơn vị theo các trục tọa độ Oxyz. Ta có: \[ \overrightarrow{u} = 7 - \overrightarrow{k} + 2\overrightarrow{j} \] Trong đó: - $\overrightarrow{i}$ là vectơ đơn vị dọc theo trục Ox. - $\overrightarrow{j}$ là vectơ đơn vị dọc theo trục Oy. - $\overrightarrow{k}$ là vectơ đơn vị dọc theo trục Oz. Do đó, ta có thể viết lại $\overrightarrow{u}$ như sau: \[ \overrightarrow{u} = 1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 1\overrightarrow{k} \] Từ đây, ta thấy rằng tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(1, 2, -1)$. Vậy đáp án đúng là: A. $(1; 2; -1)$ Đáp số: A. $(1; 2; -1)$ Câu 6. Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm \( M(0;2;3) \) lên trục Oz, ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về hình chiếu lên trục Oz: - Hình chiếu của một điểm lên trục Oz là điểm nằm trên trục Oz và có cùng tọa độ z với điểm ban đầu. Các tọa độ x và y của điểm này đều bằng 0. 2. Áp dụng vào điểm \( M(0;2;3) \): - Điểm \( M \) có tọa độ \( (0, 2, 3) \). - Tọa độ z của điểm \( M \) là 3. - Do đó, hình chiếu của điểm \( M \) lên trục Oz sẽ có tọa độ \( (0, 0, 3) \). 3. Kiểm tra đáp án: - Đáp án đúng là A. \( (0;0;3) \). Vậy tọa độ hình chiếu của điểm \( M(0;2;3) \) lên trục Oz là \( (0;0;3) \). Đáp án: A. \( (0;0;3) \). Câu 7. Để tìm giá trị của \( f(2) \), ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int_{0}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(0) \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int_{0}^{2} f'(x) \, dx = -3 \] và \[ f(0) = 3 \] Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được: \[ -3 = f(2) - 3 \] Giải phương trình này để tìm \( f(2) \): \[ f(2) = -3 + 3 \] \[ f(2) = 0 \] Vậy giá trị của \( f(2) \) là: \[ \boxed{0} \]