Cho tứ diện đều $A B C D$ có một đường cao $A A_1$. Gọi $I$ là trung điểm $A A_1$. Mặt phẳng $(B C I)$ chia tứ diện $A B C D$ thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Question

꧁ɣℰωω (Qʊỳղɦ)꧂hg2 · Accepted Answer

Gọi cạnh của tứ diện đều là $a$.
Gọi $K$ là trung điểm của $C D$ và $E=I K \cap A B$. Qua $A_1$ kẻ đường thẳng song song với $I K$ cắt $A B$ tại $J$.
Ta có: $\frac{B J}{B E}=\frac{B A_1}{B K}=\frac{2}{3}$ và $\frac{A E}{E J}=\frac{A I}{I A_1}=1$ nên suy ra $A E=\frac{1}{4} A B=\frac{a}{4}$ và $B E=\frac{3 a}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $B E$, trong mặt phẳng $(A B K)$ dựng đường trung trực của $B E$ cắt $A A_1$ tại $O$. Ta dễ dàng chứng minh được $O$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp $E B C D$.

Ta có: $B A_1=\frac{a \sqrt{3}}{3}, A A_1=\frac{a \sqrt{6}}{3}$. Đặt $B E=x$.
Tam giác $A B A_1$ đồng dạng với tam giác $A O M$ nên suy ra

$\frac{A M}{A A_1}=\frac{O M}{B H} \Rightarrow O M=\frac{A M \cdot B H}{A A_1}=\left(a-\frac{x}{2}\right) \sqrt{\frac{1}{2}}$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $E B C D$ ta suy ra:

$R=O B=\sqrt{O M^2+M B^2}=\sqrt{\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\left(a-\frac{x}{2}\right)^2}$
Với $x=\frac{3 a}{4}$ ta có: $R=\sqrt{\frac{9 a^2}{64}+\frac{1}{2}\left(a-\frac{3 a}{8}\right)^2}=a \sqrt{\frac{43}{128}}$.
Tương tự với $x=\frac{a}{4}$ ta có bán kính $R^{\prime}$ của mặt cầu ngoại tiếp EACD là

$R^{\prime}=\sqrt{\frac{a^2}{64}+\frac{1}{2}\left(a-\frac{a}{4}\right)^2}=a \sqrt{\frac{51}{128}}$
Do đó $\frac{R}{R^{\prime}}=\sqrt{\frac{43}{51}}$.

Timi · Answer

Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tứ diện đều $ABCD$, đường cao $AA_1$ đi qua tâm $A_1$ của đáy tam giác đều $BCD$. Gọi $O$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Ta biết rằng tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy và chia đường cao này theo tỉ số $1:3$ tính từ đỉnh.

Do đó, ta có:
$$ OA = 3 \cdot OA_1 $$

Gọi $R$ là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Ta có:
$$ R = OA $$

Mặt khác, ta cũng có:
$$ OA_1 = \frac{R}{3} $$

Gọi $r$ là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCI$. Ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCI$ nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AA_1$ và vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$. Do đó, ta có:
$$ r = OI $$

Ta biết rằng $I$ là trung điểm của $AA_1$, do đó:
$$ AI = \frac{AA_1}{2} = \frac{OA_1}{2} = \frac{R}{6} $$

Từ đó, ta có:
$$ OI = OA - AI = R - \frac{R}{6} = \frac{5R}{6} $$

Vậy, tỉ số giữa hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện là:
$$ \frac{r}{R} = \frac{\frac{5R}{6}}{R} = \frac{5}{6} $$

Đáp số: $\frac{5}{6}$

Cho tứ diện đều $A B C D$ có một đường cao $A A_1$. Gọi $I$ là trung điểm $A A_1$. Mặt phẳng $(B C I)$ chia tứ diện $A B C D$ thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai t...