Heppppppppppp

Câu 2. a) Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp CD\). b) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(CD \perp AD\). Kết hợp với \(SA \perp CD\) và \(SA \cap AD = A\), ta có \(CD \perp (SAD)\). c) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AD\). Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(SDA\). Ta có: \[ SA = a\sqrt{2}, \quad AD = a \] Trong tam giác vuông \(SAD\): \[ \tan(\angle SDA) = \frac{SA}{AD} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2} \] Do đó, góc \(SDA\) không phải là \(45^\circ\). Vậy c) sai. d) Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AC\). Mặt khác, \(AC \perp BD\) (vì \(ABCD\) là hình vuông). Kết hợp với \(SA \cap BD = A\), ta có \(AC \perp (SBD)\). Do đó, mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Đáp án đúng là d) \((SAC) \perp (ABCD)\). Câu 1. Trước tiên, ta vẽ sơ đồ minh họa cho bài toán. Gọi A là điểm đầu dây diều trên mặt đất, B là điểm đầu dây diều ở con diều, và C là hình chiếu vuông góc của B trên mặt đất. Ta có góc ACB = 90° và góc CAB = 50°. Độ dài đoạn dây AB là 10 m. Ta cần tìm độ dài đoạn AC, tức là khoảng cách từ điểm đầu dây diều trên mặt đất đến hình chiếu vuông góc của con diều trên mặt đất. Ta sử dụng công thức tính cosin trong tam giác vuông: \[ \cos(CAB) = \frac{AC}{AB} \] Thay các giá trị vào: \[ \cos(50^\circ) = \frac{AC}{10} \] Tìm giá trị của cos(50°): \[ \cos(50^\circ) \approx 0,6428 \] Do đó: \[ 0,6428 = \frac{AC}{10} \] Giải phương trình này để tìm AC: \[ AC = 10 \times 0,6428 \] \[ AC \approx 6,428 \text{ m} \] Chuyển đổi đơn vị từ mét sang centimet: \[ AC \approx 6,428 \times 100 \] \[ AC \approx 642,8 \text{ cm} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ AC \approx 643 \text{ cm} \] Vậy hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất khoảng 643 cm. Câu 2. Để tính $\log_{c}(a^{3}b^{2}\sqrt{c})$, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các giá trị đã cho. Trước tiên, ta biết rằng: \[ \log_{a}b = -3 \quad \text{và} \quad \log_{a}c = 2 \] Ta cần tính $\log_{c}(a^{3}b^{2}\sqrt{c})$. Ta sẽ sử dụng tính chất logarit để tách biểu thức này thành các phần nhỏ hơn: \[ \log_{c}(a^{3}b^{2}\sqrt{c}) = \log_{c}(a^{3}) + \log_{c}(b^{2}) + \log_{c}(\sqrt{c}) \] Bây giờ, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ: 1. Tính $\log_{c}(a^{3})$: \[ \log_{c}(a^{3}) = 3 \cdot \log_{c}(a) \] Ta biết rằng $\log_{a}c = 2$, do đó theo công thức đổi cơ sở logarit: \[ \log_{c}(a) = \frac{1}{\log_{a}c} = \frac{1}{2} \] Vậy: \[ \log_{c}(a^{3}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] 2. Tính $\log_{c}(b^{2})$: \[ \log_{c}(b^{2}) = 2 \cdot \log_{c}(b) \] Ta biết rằng $\log_{a}b = -3$, do đó theo công thức đổi cơ sở logarit: \[ \log_{c}(b) = \frac{\log_{a}b}{\log_{a}c} = \frac{-3}{2} \] Vậy: \[ \log_{c}(b^{2}) = 2 \cdot \left( \frac{-3}{2} \right) = -3 \] 3. Tính $\log_{c}(\sqrt{c})$: \[ \log_{c}(\sqrt{c}) = \log_{c}(c^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_{c}(c) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] Cuối cùng, ta cộng tất cả các kết quả lại: \[ \log_{c}(a^{3}b^{2}\sqrt{c}) = \frac{3}{2} + (-3) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 3 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 3 = 2 - 3 = -1 \] Vậy, giá trị của $\log_{c}(a^{3}b^{2}\sqrt{c})$ là: \[ \boxed{-1} \] Câu 3. Để tính góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Ta có hình lăng trụ ABC.A'B'C' với AA' vuông góc với đáy. - Các cạnh đáy: AB = AC = 3 m, BC = 2,4 m. - Đường thẳng A'B' song song với AB vì chúng là các cạnh tương ứng của hai đáy lăng trụ. 2. Tìm góc giữa hai đường thẳng: - Góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC sẽ bằng góc giữa hai đường thẳng AB và AC vì A'B' song song với AB. - Ta cần tính góc giữa AB và AC. 3. Áp dụng công thức tính góc trong tam giác: - Ta sử dụng công thức cosinus trong tam giác ABC để tính góc BAC: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{3^2 + 3^2 - 2,4^2}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{9 + 9 - 5,76}{18} = \frac{12,24}{18} = 0,68 \] 4. Tính góc BAC: - Sử dụng máy tính để tìm góc từ giá trị cos: \[ \angle BAC = \cos^{-1}(0,68) \approx 47^\circ \] 5. Kết luận: - Góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC là 47°. Vậy góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC là 47°.