Giúp mình với!Giúp mình với!Giúp mình với!

Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi về tích phân của hàm số \( f(x) \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tích phân và các dữ liệu đã cho. Bước 1: Tính \(\int^4_1 f(x) \, dx\) Ta biết rằng: \[ \int^4_1 [f(x) + 4x] \, dx = 40 \] Áp dụng tính chất tích phân: \[ \int^4_1 f(x) \, dx + \int^4_1 4x \, dx = 40 \] Tính tích phân \(\int^4_1 4x \, dx\): \[ \int^4_1 4x \, dx = 4 \int^4_1 x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^4_1 = 4 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 4 \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = 4 \left( 8 - \frac{1}{2} \right) = 4 \times \frac{15}{2} = 30 \] Do đó: \[ \int^4_1 f(x) \, dx + 30 = 40 \] \[ \int^4_1 f(x) \, dx = 40 - 30 = 10 \] Bước 2: Tính \(\int^2_1 [3f(x) - 3x^2] \, dx\) Ta biết rằng: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 2 \] Áp dụng tính chất tích phân: \[ \int^2_1 [3f(x) - 3x^2] \, dx = 3 \int^2_1 f(x) \, dx - 3 \int^2_1 x^2 \, dx \] Tính tích phân \(\int^2_1 x^2 \, dx\): \[ \int^2_1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Do đó: \[ 3 \int^2_1 f(x) \, dx - 3 \int^2_1 x^2 \, dx = 3 \times 2 - 3 \times \frac{7}{3} = 6 - 7 = -1 \] Bước 3: Tính \(\int^4_2 f(x) \, dx\) Ta biết rằng: \[ \int^4_1 f(x) \, dx = 10 \] \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 2 \] Áp dụng tính chất tích phân: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = \int^4_1 f(x) \, dx - \int^2_1 f(x) \, dx = 10 - 2 = 8 \] Bước 4: Tính \(\int^4_2 \left[ \frac{1}{2} f(x) + 2x + 3 \right] \, dx\) Áp dụng tính chất tích phân: \[ \int^4_2 \left[ \frac{1}{2} f(x) + 2x + 3 \right] \, dx = \frac{1}{2} \int^4_2 f(x) \, dx + \int^4_2 2x \, dx + \int^4_2 3 \, dx \] Tính các tích phân riêng lẻ: \[ \frac{1}{2} \int^4_2 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \] \[ \int^4_2 2x \, dx = 2 \int^4_2 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^4_2 = 2 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = 2 \left( 8 - 2 \right) = 2 \times 6 = 12 \] \[ \int^4_2 3 \, dx = 3 \left[ x \right]^4_2 = 3 (4 - 2) = 3 \times 2 = 6 \] Do đó: \[ \frac{1}{2} \int^4_2 f(x) \, dx + \int^4_2 2x \, dx + \int^4_2 3 \, dx = 4 + 12 + 6 = 22 \] Kết luận Các câu đúng là: - a) \(\int^4_1 f(x) \, dx = 10\) - b) \(\int^2_1 [3f(x) - 3x^2] \, dx = -1\) - c) \(\int^4_2 f(x) \, dx = 8\) - d) \(\int^4_2 \left[ \frac{1}{2} f(x) + 2x + 3 \right] \, dx = 22\) Câu 1: Để tính giá trị của $F(1)$, ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3x^2 + 2$ và sử dụng điều kiện ban đầu $F(0) = 1$ để xác định hằng số nguyên hàm. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. \[ F(x) = \int (3x^2 + 2) \, dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int 2 \, dx = 2x \] Vậy: \[ F(x) = x^3 + 2x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng điều kiện $F(0) = 1$. \[ F(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm $F(x)$ với hằng số $C$ đã xác định. \[ F(x) = x^3 + 2x + 1 \] Bước 4: Tính giá trị của $F(1)$. \[ F(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \] Vậy giá trị của $F(1)$ là 4. Câu 2: Ta có: \[ \int^\pi_0 [f(x) + 2\sin x] \, dx = 35 \] Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^\pi_0 f(x) \, dx + \int^\pi_0 2\sin x \, dx = 35 \] Tính tích phân $\int^\pi_0 2\sin x \, dx$: \[ \int^\pi_0 2\sin x \, dx = 2 \int^\pi_0 \sin x \, dx \] Biết rằng: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Do đó: \[ 2 \int^\pi_0 \sin x \, dx = 2 \left[ -\cos x \right]^\pi_0 = 2 \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) = 2 \left( -(-1) + 1 \right) = 2 \times 2 = 4 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ \int^\pi_0 f(x) \, dx + 4 = 35 \] Giải ra giá trị của $\int^\pi_0 f(x) \, dx$: \[ \int^\pi_0 f(x) \, dx = 35 - 4 = 31 \] Vậy giá trị của $\int^\pi_0 f(x) \, dx$ là 31. Câu 3: Để tính giá trị của \( I = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx \), chúng ta sẽ chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} 6x^5 - 3 & \text{khi } x \geq 1 \\ 4^x - 1 & \text{khi } x \leq 1 \end{cases} \] Do đó, ta có thể viết: \[ I = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính \( \int_{-2}^{1} f(x) \, dx \): \[ \int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} (4^x - 1) \, dx \] Ta có: \[ \int (4^x - 1) \, dx = \int 4^x \, dx - \int 1 \, dx \] \[ = \frac{4^x}{\ln(4)} - x + C \] Do đó: \[ \int_{-2}^{1} (4^x - 1) \, dx = \left[ \frac{4^x}{\ln(4)} - x \right]_{-2}^{1} \] \[ = \left( \frac{4^1}{\ln(4)} - 1 \right) - \left( \frac{4^{-2}}{\ln(4)} - (-2) \right) \] \[ = \left( \frac{4}{\ln(4)} - 1 \right) - \left( \frac{1/16}{\ln(4)} + 2 \right) \] \[ = \frac{4}{\ln(4)} - 1 - \frac{1}{16 \ln(4)} - 2 \] \[ = \frac{4}{\ln(4)} - \frac{1}{16 \ln(4)} - 3 \] \[ = \frac{64 - 1}{16 \ln(4)} - 3 \] \[ = \frac{63}{16 \ln(4)} - 3 \] 2. Tính \( \int_{1}^{3} f(x) \, dx \): \[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} (6x^5 - 3) \, dx \] Ta có: \[ \int (6x^5 - 3) \, dx = 6 \int x^5 \, dx - 3 \int 1 \, dx \] \[ = 6 \cdot \frac{x^6}{6} - 3x + C \] \[ = x^6 - 3x + C \] Do đó: \[ \int_{1}^{3} (6x^5 - 3) \, dx = \left[ x^6 - 3x \right]_{1}^{3} \] \[ = (3^6 - 3 \cdot 3) - (1^6 - 3 \cdot 1) \] \[ = (729 - 9) - (1 - 3) \] \[ = 720 + 2 \] \[ = 722 \] Cuối cùng, tổng hợp lại: \[ I = \left( \frac{63}{16 \ln(4)} - 3 \right) + 722 \] \[ = \frac{63}{16 \ln(4)} + 719 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ I \approx 719 \] Đáp số: \( I \approx 719 \)