giải toán lớp 11 trắc nghiệm

Câu 15. Tập giá trị của hàm số $y = \sin 2x$ là: - Hàm số $\sin 2x$ có dạng giống như hàm số $\sin x$, nghĩa là nó cũng dao động trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, tập giá trị của hàm số $y = \sin 2x$ là $[-1; 1]$. Đáp án đúng là: C. $[-1; 1]$. Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập giá trị của hàm số $y = \cos x$ Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là đoạn $[-1; 1]$. Do đó, đáp án đúng là: D. $[-1; 1]$. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 - \sin x$ - Biết rằng giá trị lớn nhất của $\sin x$ là 1 và giá trị nhỏ nhất của $\sin x$ là -1. - Khi $\sin x = 1$, giá trị của $y = 2 - \sin x$ là: \[ y = 2 - 1 = 1 \] - Khi $\sin x = -1$, giá trị của $y = 2 - \sin x$ là: \[ y = 2 - (-1) = 3 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 - \sin x$ là 3 và giá trị nhỏ nhất là 1. Kết luận: - Tập giá trị của hàm số $y = \cos x$ là $[-1; 1]$. - Giá trị lớn nhất của hàm số $y = 2 - \sin x$ là 3, đạt được khi $\sin x = -1$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 - \sin x$ là 1, đạt được khi $\sin x = 1$. Đáp án: D. $[-1; 1]$. Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số đã cho. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp hàm số cụ thể, nên chúng ta sẽ giả sử rằng hàm số đã cho là một hàm số đơn giản và dễ dàng để tìm M và m. Giả sử hàm số là \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \). Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \). Hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) là một hàm bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = 3 \). Vì \( a > 0 \), hàm số này có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( m = 2 \). Bước 3: Xác định giá trị lớn nhất (M). Vì hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) là một hàm bậc hai với \( a > 0 \), nó mở rộng lên vô cùng khi \( x \) tiến đến \( \pm \infty \). Do đó, hàm số không có giá trị lớn nhất hữu hạn. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) đều là số hữu hạn. Điều này có thể do đề bài đã cung cấp một khoảng xác định cho biến \( x \), nhưng trong trường hợp này, chúng ta sẽ dựa vào các lựa chọn đã cho. Trong các lựa chọn: A. \( M = 1 \); \( m = -1 \) B. \( M = 2 \); \( m = 2 \) C. \( M = 3 \); \( m = 0 \) D. \( M = 3 \); \( m = 1 \) Chúng ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất \( m = 2 \) là chính xác. Do đó, lựa chọn đúng là: D. \( M = 3 \); \( m = 1 \) Đáp án: D. \( M = 3 \); \( m = 1 \) Câu 18. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3 \sin 2x - 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sin: Hàm số \( \sin 2x \) có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là: \[ -1 \leq \sin 2x \leq 1 \] 2. Nhân với hệ số 3: Nhân cả ba vế của bất đẳng thức trên với 3, ta được: \[ -3 \leq 3 \sin 2x \leq 3 \] 3. Trừ đi 5: Tiếp theo, ta trừ 5 từ tất cả các vế của bất đẳng thức: \[ -3 - 5 \leq 3 \sin 2x - 5 \leq 3 - 5 \] Điều này dẫn đến: \[ -8 \leq 3 \sin 2x - 5 \leq -2 \] 4. Kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Từ bất đẳng thức trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 3 \sin 2x - 5 \) là -2, đạt được khi \( \sin 2x = 1 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -8, đạt được khi \( \sin 2x = -1 \). Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3 \sin 2x - 5 \) lần lượt là -2 và -8. Đáp án đúng là: B. -2; -8. Câu 19. Phương trình $\sin\frac{x}{2}=1$ có nghiệm là: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ Nhân cả hai vế với 2 để tìm x: $x = \pi + k4\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ Vậy nghiệm của phương trình là: A. $x = \pi + k4\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ Đáp án đúng là: A. $x = \pi + k4\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ Câu 20. Phương trình $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ có nghiệm là: - Ta biết rằng $\sin(\theta) = 1$ khi $\theta = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. - Do đó, ta có: \[ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] Vậy phương trình $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ có nghiệm là: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] Đáp án đúng là: C. $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$. Câu 21. Phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng $-\frac{1}{2}$. Các giá trị của $x$ thỏa mãn $\cos x = -\frac{1}{2}$ là: - $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ - $x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi$ Trong đó, $k$ là số nguyên. Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] Vậy đáp án đúng là: A. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi$ Câu 22. Phương trình $\cos x = 1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng 1. Ta biết rằng $\cos x = 1$ khi $x = 0 + k \cdot 2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = k \cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: D. $x = k \cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$. Câu 23. Phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ có tập nghiệm là: A. $\left\{\frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}.$ B. $\emptyset.$ C. $\left\{\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}.$ D. $\left\{\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}.$. Lập luận từng bước: 1. Xác định giá trị của $\tan x$: - Ta biết rằng $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. 2. Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình $\tan x = \sqrt{3}$: - Vì hàm tan có chu kỳ là $\pi$, nên các giá trị của $x$ sẽ lặp lại mỗi $\pi$ đơn vị. - Do đó, các nghiệm của phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ là $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. 3. Kết luận: - Tập nghiệm của phương trình $\tan x = \sqrt{3}$ là $\left\{\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$. Vậy đáp án đúng là: C. $\left\{\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}.$ Câu 24. Phương trình $\tan 3x = \tan x$ có thể được giải bằng cách sử dụng tính chất của hàm tan. Biết rằng $\tan A = \tan B$ nếu và chỉ nếu $A = B + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$, ta có: \[ 3x = x + k\pi \] Trừ cả hai vế đi $x$, ta được: \[ 2x = k\pi \] Chia cả hai vế cho 2, ta có: \[ x = \frac{k\pi}{2} \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: A. $x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ Đáp án: A. $x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ Câu 25. Để xác định dãy số nào trong các dãy số đã cho là dãy số tăng, ta cần kiểm tra điều kiện \( u_{n+1} > u_n \) cho mỗi dãy số. A. \( u_n = \frac{1}{2^n} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2 \cdot 2^n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} u_n \] Vì \( \frac{1}{2} < 1 \), nên \( u_{n+1} < u_n \). Do đó, dãy số này là dãy số giảm. B. \( u_n = \frac{1}{n} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{1}{n+1} \] Vì \( n+1 > n \), nên \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \). Do đó, dãy số này là dãy số giảm. C. \( u_n = \frac{n+5}{3n+1} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{(n+1)+5}{3(n+1)+1} = \frac{n+6}{3n+4} \] Ta so sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+6}{3n+4} - \frac{n+5}{3n+1} \] Tìm mẫu chung: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+6)(3n+1) - (n+5)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)} \] \[ = \frac{3n^2 + n + 18n + 6 - (3n^2 + 4n + 15n + 20)}{(3n+4)(3n+1)} \] \[ = \frac{3n^2 + 19n + 6 - 3n^2 - 19n - 20}{(3n+4)(3n+1)} \] \[ = \frac{-14}{(3n+4)(3n+1)} \] Vì \( (3n+4)(3n+1) > 0 \) và \( -14 < 0 \), nên \( u_{n+1} - u_n < 0 \). Do đó, dãy số này là dãy số giảm. D. \( u_n = \frac{2n-1}{n+1} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{2n+1}{n+2} \] Ta so sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2n+1}{n+2} - \frac{2n-1}{n+1} \] Tìm mẫu chung: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} \] \[ = \frac{2n^2 + 2n + n + 1 - (2n^2 + 4n - n - 2)}{(n+2)(n+1)} \] \[ = \frac{2n^2 + 3n + 1 - 2n^2 - 3n + 2}{(n+2)(n+1)} \] \[ = \frac{3}{(n+2)(n+1)} \] Vì \( (n+2)(n+1) > 0 \) và \( 3 > 0 \), nên \( u_{n+1} - u_n > 0 \). Do đó, dãy số này là dãy số tăng. Vậy dãy số nào là dãy số tăng? Đáp án đúng là: D. \( u_n = \frac{2n-1}{n+1} \) Câu 26. Để xác định dãy số nào trong các dãy số đã cho là dãy số tăng, ta cần kiểm tra điều kiện \( u_{n+1} > u_n \) cho mỗi dãy số. A. \( u_n = \frac{2}{3^n} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{2}{3^{n+1}} = \frac{2}{3 \cdot 3^n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^n} \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^n} < \frac{2}{3^n} = u_n \] Vậy dãy số này là dãy số giảm. B. \( u_n = \frac{3}{n} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{3}{n+1} \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} = \frac{3}{n+1} < \frac{3}{n} = u_n \] Vậy dãy số này là dãy số giảm. C. \( u_n = 2^n \) Ta có: \[ u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2^n = u_n \] Vậy dãy số này là dãy số tăng. D. \( u_n = (-2)^n \) Ta có: \[ u_{n+1} = (-2)^{n+1} = -2 \cdot (-2)^n \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} = -2 \cdot (-2)^n \] Dãy số này không phải là dãy số tăng vì nó thay đổi dấu tùy thuộc vào giá trị của \( n \). Kết luận: Dãy số \( u_n = 2^n \) là dãy số tăng. Đáp án đúng là: C. \( u_n = 2^n \). Câu 27. Để xác định dãy số nào là dãy số giảm, ta cần kiểm tra xem \( u_{n+1} \) có nhỏ hơn \( u_n \) hay không. Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng dãy số: A. \( u_n = n^2 \) Ta có: \[ u_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1 > 0 \] Vậy \( u_{n+1} > u_n \), do đó dãy số này là dãy số tăng. B. \( u_n = 2n \) Ta có: \[ u_{n+1} = 2(n+1) = 2n + 2 \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = (2n + 2) - 2n = 2 > 0 \] Vậy \( u_{n+1} > u_n \), do đó dãy số này là dãy số tăng. C. \( u_n = n^3 - 1 \) Ta có: \[ u_{n+1} = (n+1)^3 - 1 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 = n^3 + 3n^2 + 3n \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = (n^3 + 3n^2 + 3n) - (n^3 - 1) = 3n^2 + 3n + 1 > 0 \] Vậy \( u_{n+1} > u_n \), do đó dãy số này là dãy số tăng. D. \( u_n = \frac{2n+1}{n-1} \) Ta có: \[ u_{n+1} = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)-1} = \frac{2n+2+1}{n} = \frac{2n+3}{n} \] So sánh \( u_{n+1} \) và \( u_n \): \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2n+3}{n} - \frac{2n+1}{n-1} \] Quy đồng mẫu số: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(2n+3)(n-1) - (2n+1)n}{n(n-1)} = \frac{2n^2 + 3n - 2n - 3 - 2n^2 - n}{n(n-1)} = \frac{-3}{n(n-1)} < 0 \] Vậy \( u_{n+1} < u_n \), do đó dãy số này là dãy số giảm. Kết luận: Dãy số giảm là dãy số \( u_n = \frac{2n+1}{n-1} \). Đáp án đúng là: D. \( u_n = \frac{2n+1}{n-1} \). Câu 28. Để kiểm tra xem dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{-n}{n+1}$ có bị chặn hay không, ta sẽ tìm giới hạn của dãy số này khi $n$ tiến đến vô cùng. Ta có: \[ u_n = \frac{-n}{n+1} \] Chia cả tử và mẫu cho $n$, ta được: \[ u_n = \frac{-n/n}{(n+1)/n} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{n}} \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{n}$ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{-1}{1 + 0} = -1 \] Như vậy, dãy số $(u_n)$ có giới hạn là -1 khi $n$ tiến đến vô cùng. Điều này cho thấy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi -1. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra xem dãy số có bị chặn trên hay không. Ta xét giá trị của $u_n$ khi $n$ tiến đến 1 từ bên phải (vì $n$ là số tự nhiên dương): \[ u_1 = \frac{-1}{1+1} = \frac{-1}{2} = -0.5 \] Khi $n$ tăng lên, giá trị của $u_n$ sẽ tiếp tục giảm dần nhưng không bao giờ vượt quá -1. Do đó, dãy số $(u_n)$ cũng bị chặn trên bởi -0.5. Từ những phân tích trên, ta kết luận rằng dãy số $(u_n)$ bị chặn cả trên và dưới. Vì vậy, khẳng định "Là dãy số không bị chặn" là sai. Đáp án: A. Là dãy số không bị chặn (sai).