Giải hộ tớ với ạ Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật với,$O(0;0;0),~B(3;0;0),~C(0;4;0),~S(0;0;5).$,,a) Viết phương trình mặt phẳng (SBD).,b) Viết phương trình mặt phẳng (SCO).,c)Tìm tọa độ trung điểm H của SB,d) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCO)

Question

Giải hộ tớ với ạ Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật với,$O(0;0;0),~B(3;0;0),~C(0;4;0),~S(0;0;5).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/e15398706baa486ba1df8795e90cf128.jpg />,a) Viết phương trình mặt phẳng (SBD).,b) Viết phương trình mặt phẳng (SCO).,c)Tìm tọa độ trung điểm H của SB,d) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCO)

Timi · Accepted Answer

a) Ta có $\overrightarrow{SB}=(3;0;-5)$ và $\overrightarrow{SD}=(0;4;-5)$

Phương trình mặt phẳng (SBD) có dạng:

$ax + by + cz = d$

Thay tọa độ của điểm S(0;0;5) vào phương trình trên ta có:

$0a + 0b + 5c = d \Rightarrow d = 5c$

Do đó phương trình mặt phẳng (SBD) trở thành:

$ax + by + cz = 5c$

Chia cả hai vế cho c ta được:

$\frac{a}{c}x + \frac{b}{c}y + z = 5$

Gọi $\frac{a}{c} = A$ và $\frac{b}{c} = B$, ta có phương trình mặt phẳng (SBD) là:

$Ax + By + z = 5$

Thay tọa độ của điểm B(3;0;0) vào phương trình trên ta có:

$3A + 0B + 0 = 5 \Rightarrow 3A = 5 \Rightarrow A = \frac{5}{3}$

Thay tọa độ của điểm D(0;4;0) vào phương trình trên ta có:

$0A + 4B + 0 = 5 \Rightarrow 4B = 5 \Rightarrow B = \frac{5}{4}$

Vậy phương trình mặt phẳng (SBD) là:

$\frac{5}{3}x + \frac{5}{4}y + z = 5$

b) Ta có $\overrightarrow{SC}=(0;4;-5)$ và $\overrightarrow{SO}=(0;0;-5)$

Phương trình mặt phẳng (SCO) có dạng:

$ax + by + cz = d$

Thay tọa độ của điểm S(0;0;5) vào phương trình trên ta có:

$0a + 0b + 5c = d \Rightarrow d = 5c$

Do đó phương trình mặt phẳng (SCO) trở thành:

$ax + by + cz = 5c$

Chia cả hai vế cho c ta được:

$\frac{a}{c}x + \frac{b}{c}y + z = 5$

Gọi $\frac{a}{c} = A$ và $\frac{b}{c} = B$, ta có phương trình mặt phẳng (SCO) là:

$Ax + By + z = 5$

Thay tọa độ của điểm C(0;4;0) vào phương trình trên ta có:

$0A + 4B + 0 = 5 \Rightarrow 4B = 5 \Rightarrow B = \frac{5}{4}$

Vậy phương trình mặt phẳng (SCO) là:

$0x + \frac{5}{4}y + z = 5$

c) Tọa độ trung điểm H của SB là:

$H\left(\frac{0+3}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{5+0}{2}\right) = H\left(\frac{3}{2}; 0; \frac{5}{2}\right)$

d) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCO) là:

$d = \frac{|Ax_H + By_H + z_H - d|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

$= \frac{\left|0 \cdot \frac{3}{2} + \frac{5}{4} \cdot 0 + \frac{5}{2} - 5\right|}{\sqrt{0^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + 1^2}}$

$= \frac{\left|\frac{5}{2} - 5\right|}{\sqrt{\frac{25}{16} + 1}}$

$= \frac{\left|\frac{-5}{2}\right|}{\sqrt{\frac{41}{16}}}$

$= \frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{4}}$

$= \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{41}}$

$= \frac{10}{\sqrt{41}}$

$= \frac{10\sqrt{41}}{41}$

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCO) là $\frac{10\sqrt{41}}{41}$.