Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn sao cho $\mathrm{AM}<\mathrm{MB}$. Gọi M ' là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia...

a,Ta có: $\angle AMB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà $\angle AMB$ và $\angle AMS$ là 2 góc kề bù

$\rightarrow \angle AMS = 90^\circ$

Xét tứ giác $AMSP$ có:

$\angle AMS + \angle APS = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow$ tứ giác $AMSP$ nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng $180^\circ$)

$\Rightarrow$ 4 điểm $A, M, S, P$ cùng nằm trên 1 đường tròn (đpcm)

Vì tứ giác $AMSP$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle S_1 = \angle PMS'$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) (1)

Vì $M'$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AB$ (gt)

$\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $MM'$

$\Rightarrow AM = AM'$

$\Rightarrow \triangle AMM'$ cân tại $A$

Mà $\triangle AMM'$ cân tại $A$ có $AC$ là đường cao

$\Rightarrow AC$ đồng thời là đường phân giác

$\Rightarrow \angle A_1 = \angle A_2$

Mà $\angle A_1 = \angle A_3$ (2 góc đối đỉnh)

$\angle A_2 = \angle A_4$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \angle A_3 = \angle A_4$

Mà $\angle A_3 + \angle \widehat{S} = 90^\circ$ (2 góc phụ nhau)

$\angle A_4 + \angle S_1 = 90^\circ$ (2 góc phụ nhau)

$\Rightarrow \angle \widehat{S} = \angle S_1$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \angle \widehat{S} = \angle PMS'$

$\Rightarrow \triangle PS'M$ cân tại $P$ (đpcm)

b,

Ta có: $OA = OM = R$

$\Rightarrow \triangle OAM$ cân tại $O$

$\Rightarrow \angle \widehat{A_1} = \angle OMA$ (tính chất $\triangle$ cân)

Mà $\angle \widehat{A_1} = \angle \widehat{A_3}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \angle \widehat{A_3} = \angle OMA$

Ta có: $\angle \widehat{S'} + \angle \widehat{A_3} = 90^\circ$ (2 góc phụ nhau)

Mà $\angle \widehat{A_3} = \angle OMA$ (cmt)

$\angle \widehat{S'} = \angle PMS'$ (cmt)

$\Rightarrow \angle PMS' + \angle OMA = 90^\circ$

$\Rightarrow \angle PMO = 90^\circ$

$\Rightarrow PM \perp OM$

$\Rightarrow PM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (đpcm)