Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A .và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng $\mathrm{CD}, \mathrm{AE}$ lần lượt cắt đường tròn tại $\mathrm{F}, \mathrm{G}$.

Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3. $\mathrm{AC} / / \mathrm{FG}$.
4. Các đường thẳng $\mathrm{AC}, \mathrm{DE}, \mathrm{FB}$ đồng quy.

Question

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A .và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng $\mathrm{CD}, \mathrm{AE}$ lần lượt cắt đường tròn tại $\mathrm{F}, \mathrm{G}$.

Chứng minh :
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp .
3. $\mathrm{AC} / / \mathrm{FG}$.
4. Các đường thẳng $\mathrm{AC}, \mathrm{DE}, \mathrm{FB}$ đồng quy.

T_T mkvltt -.-hg2 · Accepted Answer

1)
- $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, $ \triangle EBD $ nội tiếp đường tròn đường kính $ BD $ nên vuông tại $ E $.
- $ \angle ABC = \angle EBD $ (góc chung).
- $ \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle EBD $ (g.g).

2)
- $ \angle ADE = \angle AEC $ (cùng chắn cung $ AE $).
- $ \Rightarrow ADEC $ nội tiếp.
- Tương tự, $ \angle AFB = \angle ACB $ (cùng chắn cung $ AB $).
- $ \Rightarrow AFBC $ nội tiếp.

3)
- $ \angle ACB = \angle AFB $ (tứ giác $ AFBC $ nội tiếp).
- $ \angle ACB = \angle FGA $ (cùng hướng với $ AC $).
- $ \Rightarrow AC \parallel FG $.

4)
- Do các tứ giác nội tiếp, các đường thẳng này cùng đi qua tâm điểm chung của các cung liên quan.
- $ \Rightarrow AC, DE, FB $ đồng quy.

Timi · Answer

Bài 16
1. Ta có $\widehat{\mathrm{BDE}}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Mà $\widehat{\mathrm{BAC}}=90^{\circ}$ nên $\widehat{\mathrm{BDE}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ 
Ta lại có $\widehat{\mathrm{DBE}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (cùng bằng góc $\widehat{\mathrm{ABD}})$ 
Do đó tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD (g-g)
2. Ta có $\widehat{\mathrm{AEC}}=\widehat{\mathrm{AEB}}+\widehat{\mathrm{BEC}}=\widehat{\mathrm{ADB}}+\widehat{\mathrm{BDE}}=180^{\circ}$ 
Nên tứ giác ADEC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180 độ) 
Tứ giác AFBC nội tiếp (góc $\widehat{\mathrm{AFB}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB))
3. Ta có $\widehat{\mathrm{CAG}}=\widehat{\mathrm{CBG}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CG) 
Mà $\widehat{\mathrm{CBG}}=\widehat{\mathrm{CAF}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF) 
Nên $\widehat{\mathrm{CAG}}=\widehat{\mathrm{CAF}}$ 
Mà $\widehat{\mathrm{CAG}}$ và $\widehat{\mathrm{CAF}}$ là hai góc so le trong nên AC // FG
4. Ta có $\widehat{\mathrm{FBA}}=\widehat{\mathrm{FCA}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FA) 
Mà $\widehat{\mathrm{FCA}}=\widehat{\mathrm{EDC}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) 
Nên $\widehat{\mathrm{FBA}}=\widehat{\mathrm{EDC}}$ 
Mà hai góc này so le trong nên DE // FB 
Mặt khác ta có $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{BDC}}=90^{\circ}$ nên AC vuông góc với BD 
Mà DE // FB nên AC vuông góc với FB 
Vậy ba đường thẳng AC, DE, FB đồng quy tại chân đường cao hạ từ đỉnh F của tam giác FBD hạ xuống cạnh BD.

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A .và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng $\mathrm{CD}, \mathrm{AE}$ lần lượt cắt đường tròn tại $\mathrm{F}, \mathrm{G}$...