cho tam giác MNP vuông tại P , kẻ tia MI là tia phân giác của NMP, lấy điểm K trên tia MN sao cho Mk = Mp a) chứng minh tam giác MPI = tam giác MKI và IK vuông góc MN b) chứng minh IM là đường trung tr...

a. Xét $\triangle MPI, \triangle KMI$ có:

Chung $IM$

$\angle PMI = \angle KMI$

$MP = MK$

$\rightarrow \triangle PMI = \triangle KMI$ (c.g.c)

b. Từ a $\rightarrow MP = MK, IP = IK$

$\rightarrow M, I \in$ trung trực $PK$

$\rightarrow MI$ là trung trực $PK$

Câu a: Chứng minh △MPI=△MKI\triangle MPI = \triangle MKI△MPI=△MKI và IK⊥MNIK \perp MNIK⊥MN

Chứng minh △MPI=△MKI\triangle MPI = \triangle MKI△MPI=△MKI (g.g.c)

Xét hai tam giác MPIMPIMPI và MKIMKIMKI:

• MIMIMI là tia phân giác ⇒∠MPI=∠MKI\Rightarrow \angle MPI = \angle MKI⇒∠MPI=∠MKI.
• MP=MKMP = MKMP=MK (theo giả thiết).
• MIMIMI là cạnh chung.

⇒△MPI=△MKI\Rightarrow \triangle MPI = \triangle MKI⇒△MPI=△MKI (g.g.c).

Chứng minh IK⊥MNIK \perp MNIK⊥MN

Vì △MPI=△MKI\triangle MPI = \triangle MKI△MPI=△MKI, suy ra:

∠MIP=∠MIK.\angle MIP = \angle MIK.∠MIP=∠MIK.Mà ∠MIP+∠MIK=90∘\angle MIP + \angle MIK = 90^\circ∠MIP+∠MIK=90∘ (do MIMIMI là tia phân giác và △MNP\triangle MNP△MNP vuông tại PPP).

⇒∠MIK=90∘.\Rightarrow \angle MIK = 90^\circ.⇒∠MIK=90∘.Suy ra IK⊥MNIK \perp MNIK⊥MN.

Câu b: Chứng minh IMIMIM là đường trung trực của PKPKPK

• Ta đã chứng minh IK⊥MNIK \perp MNIK⊥MN tại KKK.
• Tam giác MPI=MKIMPI = MKIMPI=MKI suy ra PI=IKPI = IKPI=IK.
• IMIMIM đi qua trung điểm của đoạn thẳng PKPKPK (do PI=IKPI = IKPI=IK).

⇒IM\Rightarrow IM⇒IM là đường trung trực của PKPKPK.

Câu c: Chứng minh tam giác NMHNMHNMH cân

• Tia KIKIKI cắt MPMPMP tại HHH.
• Do IMIMIM là đường trung trực của PKPKPK, suy ra HHH là trung điểm của PKPKPK.
• IK⊥MNIK \perp MNIK⊥MN nên IKIKIK chia tam giác NMHNMHNMH thành hai phần bằng nhau.
• Suy ra NH=MHNH = MHNH=MH.

⇒△NMH\Rightarrow \triangle NMH⇒△NMH là tam giác cân tại HHH.