giupppppppp

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình $3^{x^2-2x} < 27$ không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì hàm mũ luôn xác định trên tập số thực. 2. Chuyển đổi bất phương trình về dạng dễ dàng hơn: - Ta nhận thấy rằng $27 = 3^3$. Do đó, bất phương trình trở thành: \[ 3^{x^2-2x} < 3^3 \] 3. So sánh các mũ trong cùng cơ số: - Vì cơ số là 3 (một số lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh trực tiếp các mũ: \[ x^2 - 2x < 3 \] 4. Giải bất phương trình bậc hai: - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - 2x - 3 < 0 \] - Tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] - Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] - Nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 5. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: - Bất phương trình $x^2 - 2x - 3 < 0$ có nghiệm nằm giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai: \[ -1 < x < 3 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng $(-1; 3)$. 6. Tính giá trị biểu thức $S = -10a + 13b$: - Trong khoảng $(-1; 3)$, ta có $a = -1$ và $b = 3$. - Thay vào biểu thức: \[ S = -10 \cdot (-1) + 13 \cdot 3 = 10 + 39 = 49 \] Đáp số: $S = 49$ Câu 2: Sau 1 tháng, số tiền lãi phải trả là: \[ 100 \times 0,7\% = 0,7 \text{ (triệu đồng)} \] Số tiền gốc còn lại sau khi trả 5 triệu đồng là: \[ 100 - 5 + 0,7 = 95,7 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 2 tháng, số tiền lãi phải trả là: \[ 95,7 \times 0,7\% = 0,6699 \text{ (triệu đồng)} \] Số tiền gốc còn lại sau khi trả 5 triệu đồng là: \[ 95,7 - 5 + 0,6699 = 90,3699 \text{ (triệu đồng)} \] Ta thấy rằng mỗi tháng số tiền gốc giảm đi 5 triệu đồng và tăng thêm số tiền lãi tương ứng với số tiền gốc còn lại. Ta sẽ tính toán tiếp tục cho đến khi số tiền gốc còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 5 triệu đồng. Sau 19 tháng, số tiền gốc còn lại là: \[ 100 - 19 \times 5 + 19 \times 0,7 = 5,3 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 20 tháng, số tiền gốc còn lại là: \[ 5,3 - 5 + 0,7 = 0,3 \text{ (triệu đồng)} \] Như vậy, sau 20 tháng, anh An sẽ trả hết nợ ngân hàng. Đáp số: 20 tháng Câu 3: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Vì đáy ABCD là hình chữ nhật và \( AD = 2AB = 4 \), ta có \( AB = 2 \) và \( AD = 4 \). - Gọi \( A(0, 0, 0) \), \( B(2, 0, 0) \), \( D(0, 4, 0) \), \( C(2, 4, 0) \). - Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy và \( SA = 2\sqrt{2} \), ta có \( S(0, 0, 2\sqrt{2}) \). - \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( M(2, 2, 0) \). 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của \( SB \) là \( \overrightarrow{SB} = B - S = (2, 0, 0) - (0, 0, 2\sqrt{2}) = (2, 0, -2\sqrt{2}) \). - Vectơ chỉ phương của \( DM \) là \( \overrightarrow{DM} = M - D = (2, 2, 0) - (0, 4, 0) = (2, -2, 0) \). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa \( SB \) và \( DM \): - Ta tính tích vector \( \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM} \): \[ \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2\sqrt{2} \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-2\sqrt{2}) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2\sqrt{2}) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-2) - 0 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(-4\sqrt{2}) - \mathbf{j}(4\sqrt{2}) + \mathbf{k}(-4) = (-4\sqrt{2}, -4\sqrt{2}, -4) \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm \( S \) đến đường thẳng \( DM \): - Ta lấy một điểm \( P \) trên \( DM \), ví dụ \( P = D \). - Vectơ \( \overrightarrow{SP} = D - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 2\sqrt{2}) = (0, 4, -2\sqrt{2}) \). - Khoảng cách \( d \) từ \( S \) đến \( DM \) là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{SP} \cdot (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM})|}{|\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM}|} \] \[ \overrightarrow{SP} \cdot (\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM}) = (0, 4, -2\sqrt{2}) \cdot (-4\sqrt{2}, -4\sqrt{2}, -4) = 0 \cdot (-4\sqrt{2}) + 4 \cdot (-4\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}) \cdot (-4) \] \[ = 0 - 16\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = -8\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{DM}| = \sqrt{(-4\sqrt{2})^2 + (-4\sqrt{2})^2 + (-4)^2} = \sqrt{32 + 32 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] \[ d = \frac{|-8\sqrt{2}|}{4\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5} \approx 1.26 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SB \) và \( DM \) là \( \frac{2\sqrt{10}}{5} \approx 1.3 \). Câu 4: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$ và $AB = 4$. - Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy. - Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng $60^\circ$. Bước 1: Xác định diện tích đáy ABCD. Do ABCD là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^\circ$, ta có thể chia hình thoi thành hai tam giác đều bằng nhau. Diện tích của mỗi tam giác đều là: \[ S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3} \] Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times S_{\triangle ABC} = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \] Bước 2: Xác định chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Vì $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy, nên SO vuông góc với đáy ABCD. Ta cần tìm chiều cao SO. Gọi H là chân đường cao hạ từ B xuống SC trong mặt phẳng $(SBC)$. Vì góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $60^\circ$, ta có: \[ \sin(60^\circ) = \frac{OH}{OB} \] \[ OB = \frac{AB}{2} = 2 \] \[ OH = OB \times \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] Bước 3: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO \] \[ SO = OH = \sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{3} \times 8\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 8 \times 3 = 8 \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là 8 (đơn vị thể tích). Đáp số: 8 Câu 1: Điều kiện xác định: $x^2 + 4x > 0$ và $2x + 3 > 0$. Điều này dẫn đến $x > 0$ hoặc $x < -4$ và $x > -\frac{3}{2}$. Kết hợp lại, ta có $x > 0$. Phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng: \[ \log_{2025}(x^2+4x) - \log_{2025}(2x+3) = 0 \] Sử dụng tính chất của logarit, ta có: \[ \log_{2025}\left(\frac{x^2+4x}{2x+3}\right) = 0 \] Điều này tương đương với: \[ \frac{x^2+4x}{2x+3} = 1 \] Nhân cả hai vế với $(2x + 3)$, ta có: \[ x^2 + 4x = 2x + 3 \] Rearrange the equation: \[ x^2 + 4x - 2x - 3 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Phân tích phương trình bậc hai: \[ (x + 3)(x - 1) = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x = -3$, ta thấy $x < -4$ không thỏa mãn điều kiện $x > 0$. - Với $x = 1$, ta thấy $x > 0$ thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 1$. Đáp số: $x = 1$. Câu 2: Trước tiên, ta xác định hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là điểm \(O\). Vì \(AA'C\) là tam giác vuông cân tại \(A'\), nên ta có \(OA' = OC\). Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên \(AC = a\sqrt{2}\). Vì \(O\) là tâm của hình vuông, nên \(OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Vì \(AA'C\) là tam giác vuông cân tại \(A'\), nên \(OA' = OC = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABB'A')\). Ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp \(DABB'A'\) theo hai cách khác nhau để tìm khoảng cách này. Thể tích của khối chóp \(DABB'A'\) có thể tính theo hai cách: 1. Thể tích khối chóp \(DABB'A'\) = \(\frac{1}{3} \times S_{ABB'A'} \times OD'\) 2. Thể tích khối chóp \(DABB'A'\) = \(\frac{1}{3} \times S_{ABB'A'} \times h\) Trong đó, \(S_{ABB'A'}\) là diện tích đáy \(ABB'A'\), \(OD'\) là khoảng cách từ \(D\) đến \(ABB'A'\), và \(h\) là khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \((ABB'A')\). Diện tích đáy \(ABB'A'\) là: \[ S_{ABB'A'} = AB \times OA' = a \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \] Thể tích khối chóp \(DABB'A'\) cũng có thể tính theo cách khác: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABB'A'} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times h \] Ta cũng có thể tính thể tích khối chóp \(DABB'A'\) theo cách khác: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABB'A'} \times OD' = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{a^3}{2} = \frac{a^3}{6} \] Bằng cách so sánh hai cách tính thể tích, ta có: \[ \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times h = \frac{a^3}{6} \] \[ \frac{a^2\sqrt{2}}{6} \times h = \frac{a^3}{6} \] \[ h = \frac{a^3}{6} \times \frac{6}{a^2\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABB'A')\) là: \[ \boxed{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \] Câu 3: Trước tiên, ta cần tìm cạnh của tam giác đều SAB. Diện tích của tam giác đều SAB là $\frac{27\sqrt{3}}{4}$, ta có công thức tính diện tích tam giác đều là: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Với \( a \) là độ dài cạnh của tam giác đều. Do đó: \[ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \] \[ a^2 = 27 \] \[ a = 3\sqrt{3} \] Cạnh của tam giác đều SAB là \( 3\sqrt{3} \). Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Vì vậy, chiều cao của tam giác đều SAB cũng là chiều cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Chiều cao của tam giác đều SAB là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{9}{2} \] Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = a^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27 \] Thể tích của hình chóp S.ABCD là: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h = \frac{1}{3} \times 27 \times \frac{9}{2} = \frac{81}{2} \] Mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy ABCD chia hình chóp thành hai phần. Trọng tâm của tam giác đều chia tam giác thành ba phần bằng nhau về diện tích, do đó mặt phẳng này chia hình chóp thành hai phần có tỷ lệ thể tích là 1:2. Phần chứa điểm S sẽ có thể tích là: \[ V = \frac{2}{3} \times V_{S.ABCD} = \frac{2}{3} \times \frac{81}{2} = 27 \] Đáp số: \( V = 27 \) (đvtt)