cho a,b thuộc số nguyên dương a,b 1 thoả Mãn 2a^2 - b^3 = 1 chứng minh rắng a chia hết cho 3

Question

cho a,b  thuộc số nguyên dương a,b > 1 thoả Mãn 2a^2 - b^3 = 1 chứng minh rắng a chia hết cho 3

꧁༇ BØł☠₦Ҥâ¥❤[Ŧ✟G✟λ]❤[Ŧ.Ł.M]❤[ƙ.Ø.Ð]❤[ƙ.Ø.B]❤[Ŧ✞₡]❤ · Accepted Answer

Ta thấy $a$ lẻ, $b$ chẵn. Thật vậy, nếu $a$ chẵn thì $2 a^{2}$ chia hết cho 8, $b^{3} + 1$ chia hết cho 8, vậy $b^{3}$ chia hết cho 8, suy ra $b$ chẵn. Nếu $a$ lẻ thì $2 a^{2}$ chia cho 8 dư 2, $b^{3} + 1$ chia cho 8 dư 2, vậy $b^{3}$ chia hết cho 8, suy ra $b$ chẵn. Vậy $a$ lẻ, $b$ chẵn. Ta có $b^{3} = 2 a^{2} - 1$ . Từ đây ta có $b^{3}$ chia cho 3 dư 2, vậy $b$ chia cho 3 dư 2. Vậy $b = 3 k + 2$ (với $k$ là số tự nhiên). Thay vào ta có $27 k^{3} + 54 k^{2} + 36 k + 8 = 2 a^{2} - 1$ . Suy ra $27 k^{3} + 54 k^{2} + 36 k + 9 = 2 a^{2}$ . Vế trái chia hết cho 9, vậy $a^{2}$ chia hết cho 9, suy ra $a$ chia hết cho 3.

Timi · Answer

Ta thấy $a$ lẻ, $b$ chẵn. 
Thật vậy, nếu $a$ chẵn thì $2a^2$ chia hết cho 8, $b^3 + 1$ chia hết cho 8, vậy $b^3$ chia hết cho 8, suy ra $b$ chẵn. 
Nếu $a$ lẻ thì $2a^2$ chia cho 8 dư 2, $b^3 + 1$ chia cho 8 dư 2, vậy $b^3$ chia hết cho 8, suy ra $b$ chẵn. 
Vậy $a$ lẻ, $b$ chẵn. 
Ta có $b^3 = 2a^2 - 1$. 
Từ đây ta có $b^3$ chia cho 3 dư 2, vậy $b$ chia cho 3 dư 2. 
Vậy $b = 3k + 2$ (với $k$ là số tự nhiên). 
Thay vào ta có $27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 2a^2 - 1$. 
Suy ra $27k^3 + 54k^2 + 36k + 9 = 2a^2$. 
Vế trái chia hết cho 9, vậy $a^2$ chia hết cho 9, suy ra $a$ chia hết cho 3.