Trả lời ngắn

Câu 2. Để tính bán kính của nắp bồn, chúng ta cần tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$. Giao tuyến này sẽ là một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$ và nằm trong mặt cầu $(S)$. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là: \[ (x - 13)^2 + (y - 13)^2 + (z - 13)^2 = 25 \] Tâm của mặt cầu là $(13, 13, 13)$ và bán kính là $\sqrt{25} = 5$. Bước 2: Xác định khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ z = 10 \] Khoảng cách từ điểm $(13, 13, 13)$ đến mặt phẳng $z = 10$ là: \[ |13 - 10| = 3 \] Bước 3: Tính bán kính của đường tròn giao tuyến. Áp dụng công thức tính bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \] Trong đó: - $R$ là bán kính của mặt cầu, $R = 5$ - $d$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng, $d = 3$ Thay các giá trị vào công thức: \[ r = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] Vậy bán kính của nắp bồn là $4$. Đáp số: Bán kính của nắp bồn là $4$. Câu 3. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(2;1;-3)$ và song song với mặt phẳng $(Q): x - y + 2z - 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng $(Q): x - y + 2z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q} = (1, -1, 2)$. 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng là $\vec{n_P} = (1, -1, 2)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm $A(2;1;-3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_P} = (1, -1, 2)$. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 1(x - 2) - 1(y - 1) + 2(z + 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ x - 2 - y + 1 + 2z + 6 = 0 \] \[ x - y + 2z + 5 = 0 \] 4. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình mặt phẳng (P) được cho là $x - y + az + b = 0$. So sánh với phương trình $x - y + 2z + 5 = 0$, ta nhận thấy: \[ a = 2 \quad \text{và} \quad b = 5 \] 5. Tính giá trị biểu thức $S = a + b$: \[ S = a + b = 2 + 5 = 7 \] Vậy giá trị biểu thức $S = a + b$ là $\boxed{7}$. Câu 4. Số học sinh của lớp 12B1 là: 25 + 15 = 40 (học sinh) Số học sinh thích chơi thể thao là: 16 + 6 = 22 (học sinh) Xác suất để học sinh được chọn là nữ, biết rằng học sinh đó thích chơi thể thao là: \frac{6}{22} = 0,2727... ≈ 0,27 Đáp số: 0,27