ChoABCcóAB=3cm,AC=4cm,BC=5cm.ĐườngphângiácgócAcắtcạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K. a/ChứngminhABCvuông b/TínhDB,DC. c/ChứngminhEDC BDK d/ChứngminhDE=DB...

a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông Ta có \(AB = 3 \text{ cm}\), \(AC = 4 \text{ cm}\), \(BC = 5 \text{ cm}\). Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2 \] Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). b) Tính \(DB\) và \(DC\) Vì \(AD\) là đường phân giác của góc \(A\) nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \] Gọi \(BD = 3k\) và \(DC = 4k\). Ta có: \[ BD + DC = BC \] \[ 3k + 4k = 5 \] \[ 7k = 5 \] \[ k = \frac{5}{7} \] Do đó: \[ BD = 3k = 3 \times \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \text{ cm} \] \[ DC = 4k = 4 \times \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \text{ cm} \] c) Chứng minh \(\Delta EDC \sim \Delta BDK\) - \(\angle EDC = \angle BDK\) (hai góc đối đỉnh) - \(\angle DCE = \angle DBK\) (cùng phụ với góc \(BAC\)) Vậy theo tiêu chí góc-góc, ta có \(\Delta EDC \sim \Delta BDK\). d) Chứng minh \(DE = DB\) Vì \(\Delta EDC \sim \Delta BDK\) nên tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: \[ \frac{DE}{DB} = \frac{DC}{BK} \] Mặt khác, do \(DE \perp BC\) và \(DK \perp BC\), ta có \(DE\) và \(DK\) là các đường cao hạ từ \(D\) xuống \(BC\). Do đó, \(DE = DK\). Từ đây, ta có: \[ \frac{DE}{DB} = \frac{DC}{BK} = 1 \] Vậy \(DE = DB\). Đáp số: a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). b) \(DB = \frac{15}{7} \text{ cm}\), \(DC = \frac{20}{7} \text{ cm}\). c) \(\Delta EDC \sim \Delta BDK\). d) \(DE = DB\).