Giải giúp mình với Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương,trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm,$A(1;1;1),~B(0;2;2)$ đồng thời cắt các tia,$Ox,Oy$ lần lượt tại các điểm $M,N(M,N$ không,trùng với gốc tọa độ O) thỏa mãn $OM=2ON$ là,$ax+by+cz+d=0.$ Tính $T=a+b+$,$c+d.$,Trả lời:

Question

Kim Anh Ngânhg1 · Accepted Answer

Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} ,\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng $\displaystyle \Leftrightarrow [\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC}] .\overrightarrow{AD} =0$
Theo đề bài, ta giả sử M(2m; 0; 0), N(0;m;0) (m>0)
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
\overrightarrow{AB} =( -1;\ 1;\ 1) & \
\overrightarrow{AM} =( 2m-1;\ -1;\ -1) & \
\overrightarrow{AN} =( -1;\ m-1;\ -1) &
\end{cases}$
⟹$\displaystyle [\overrightarrow{AM} ;\ \overrightarrow{AN}] =\left( m;\ 2m;\ 2m^{2} -3m ight)$
A, B, M, N đồng phẳng
$\displaystyle \Longrightarrow [\overrightarrow{AM} ;\ \overrightarrow{AN}] .\overrightarrow{AB} =0$
$\displaystyle \Leftrightarrow m.( -1) +2m.1+\left( 2m^{2} -3m ight) .1=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2m^{2} -2m=0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m=0( L) & \
m=1( TM) &
\end{array} ight.$
⟹$\displaystyle [\overrightarrow{AM} ;\ \overrightarrow{AN}] =( 1;\ 2;\ -1)$ là 1 VTPT của (P)
Phương trình mp (P) là:
$\displaystyle 1( x-1) +2( y-1) -1( z-1) =0$
$\displaystyle x+2y-z-2=0$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình mặt phẳng (P):
   Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $ A(1,1,1) $ và $ B(0,2,2) $. Ta cần tìm thêm một điểm thứ ba trên mặt phẳng để xác định phương trình mặt phẳng.

2. Xác định điểm M và N:
   Mặt phẳng (P) cắt các tia $ Ox $ và $ Oy $ lần lượt tại các điểm $ M $ và $ N $ sao cho $ OM = 2ON $.

3. Xác định tọa độ của M và N:
   Giả sử $ M(a,0,0) $ và $ N(0,b,0) $. Theo điều kiện $ OM = 2ON $, ta có $ a = 2b $.

4. Xác định phương trình mặt phẳng:
   Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $ A(1,1,1) $, $ B(0,2,2) $, và $ M(a,0,0) $. Ta viết phương trình mặt phẳng dưới dạng chung $ ax + by + cz + d = 0 $.

5. Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng:
   - Thay $ A(1,1,1) $:
     $$
     a(1) + b(1) + c(1) + d = 0 \implies a + b + c + d = 0
     $$
   - Thay $ B(0,2,2) $:
     $$
     a(0) + b(2) + c(2) + d = 0 \implies 2b + 2c + d = 0 \implies b + c + \frac{d}{2} = 0
     $$
   - Thay $ M(a,0,0) $:
     $$
     a(a) + b(0) + c(0) + d = 0 \implies a^2 + d = 0 \implies d = -a^2
     $$

6. Giải hệ phương trình:
   Từ $ a + b + c + d = 0 $ và $ b + c + \frac{d}{2} = 0 $, thay $ d = -a^2 $ vào:
   $$
   a + b + c - a^2 = 0 \quad \text{(1)}
   $$
   $$
   b + c - \frac{a^2}{2} = 0 \quad \text{(2)}
   $$
   Từ (2), ta có:
   $$
   b + c = \frac{a^2}{2}
   $$
   Thay vào (1):
   $$
   a + \frac{a^2}{2} - a^2 = 0 \implies a - \frac{a^2}{2} = 0 \implies a(1 - \frac{a}{2}) = 0
   $$
   Vậy $ a = 0 $ hoặc $ a = 2 $.

- Nếu $ a = 0 $, thì $ d = 0 $, $ b + c = 0 $, và $ a + b + c + d = 0 $ không thoả mãn.
   - Nếu $ a = 2 $, thì $ d = -4 $, $ b + c = 2 $.

7. Xác định giá trị của $ b $ và $ c $:
   Giả sử $ b = 1 $ và $ c = 1 $ (vì $ b + c = 2 $).

8. Tính $ T = a + b + c + d $:
   $$
   T = 2 + 1 + 1 - 4 = 0
   $$

Vậy đáp án là $ T = 0 $.