Giải giúp mình với Trong không gian Oxyz, cho ba điểm,$A(0;1;2),~B(2;0;3),~C(3;4;0).$ Phương trình,mặt phẳng (ABC) là,$A|2x-3y+z-10=0.$,$B|7x-y+2z-2=0.$,$c|x-7y+z-25=0.$,$D|x-7y-9z+25=0.$

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng:
   - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 0 - 1, 3 - 2) = (2, -1, 1)$
   - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 0, 4 - 1, 0 - 2) = (3, 3, -2)$

2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
   - Ta có:
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     2 & -1 & 1 \
     3 & 3 & -2
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}((-1)(-2) - (1)(3)) - \mathbf{j}((2)(-2) - (1)(3)) + \mathbf{k}((2)(3) - (-1)(3))
     = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-4 - 3) + \mathbf{k}(6 + 3)
     = -\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 9\mathbf{k}
     $$
   - Vậy $\overrightarrow{n} = (-1, 7, 9)$

3. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng $ax + by + cz + d = 0$, với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến:
   - Phương trình mặt phẳng là $-x + 7y + 9z + d = 0$
   - Thay tọa độ của điểm $A(0, 1, 2)$ vào phương trình để tìm $d$:
     $$
     -0 + 7(1) + 9(2) + d = 0
     \Rightarrow 7 + 18 + d = 0
     \Rightarrow d = -25
     $$

4. Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:
   $$
   -x + 7y + 9z - 25 = 0
   $$

Đáp án đúng là D: $x - 7y - 9z + 25 = 0$.

Trần Nhihg1 · Answer

$\displaystyle \overrightarrow{AB} =( 2;\ -1;\ 1) ;\ \overrightarrow{AC} =( 3;\ 3;\ -2)$
⟹$\displaystyle \vec{n} =[\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC}] =( -1;\ 7;\ 9)$
⟹(ABC): $\displaystyle -1( x-0) +7( y-1) +9( z-2) =0$
$\displaystyle ( ABC) :\ -x+7y+9z-25=0$
$\displaystyle ( ABC) :x-7y-9z+25=0$
Chọn D