một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật có mặt đáy MNPQ là hình vuông Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao am của bể bơi sao cho tổng diện tích các mặt làm bể bơi bao gồm bốn mặt xung quan...

Gọi độ dài cạnh MN của mặt đáy là x (m, điều kiện: x > 0), chiều cao AM của bể bơi là y (m, điều kiện: y > 0). Thể tích của bể bơi là: \[ x^2 \cdot y = 4 \] \[ y = \frac{4}{x^2} \] Tổng diện tích các mặt của bể bơi bao gồm bốn mặt xung quanh và một mặt đáy là: \[ S = x^2 + 4xy \] Thay \( y = \frac{4}{x^2} \) vào biểu thức trên: \[ S = x^2 + 4x \left( \frac{4}{x^2} \right) \] \[ S = x^2 + \frac{16}{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Xét hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{16}{x} \): - Tính đạo hàm: \( f'(x) = 2x - \frac{16}{x^2} \) - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2x - \frac{16}{x^2} = 0 \] \[ 2x = \frac{16}{x^2} \] \[ 2x^3 = 16 \] \[ x^3 = 8 \] \[ x = 2 \] Kiểm tra xem \( x = 2 \) có phải là điểm cực tiểu hay không: - Tính đạo hàm bậc hai: \( f''(x) = 2 + \frac{32}{x^3} \) - Thay \( x = 2 \) vào: \[ f''(2) = 2 + \frac{32}{8} = 2 + 4 = 6 > 0 \] Vậy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( S \) đạt được khi \( x = 2 \). Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( y = \frac{4}{x^2} \): \[ y = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 \] Vậy độ dài cạnh MN của mặt đáy là 2 mét và chiều cao AM của bể bơi là 1 mét. Đáp số: MN = 2 mét, AM = 1 mét.