Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh AHC BAC   ∽ .
b) Chứng minh 2 . AB HBBC  . Biết 6 ; 8 AB cmAC cm   . Tính AH.
c) Lấy hai điểm ; MN lần lượt thuộc cạnh ; ABAC sao cho 1 1 ; 3 3 AM ABCN AC   .
Chứng minh MHN  vuông tại H.

Question

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
a) Chứng minh AHC BAC   ∽ . 
b) Chứng minh 2 . AB HBBC  .  Biết 6 ; 8 AB cmAC cm   . Tính AH. 
c) Lấy hai điểm ; MN lần lượt thuộc cạnh ; ABAC sao cho 1 1 ; 3 3 AM ABCN AC   . 
Chứng minh MHN  vuông tại H.

Accepted Answer

M là trung điểm của BC, nên ta có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2\ =\ ( -3\ +\ x_{C}) \ :\ 2\
3\ =\ ( 4\ +\ y_{C}) \ :\ 2
\end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x_{C} \ =\ 7\
y_{C} \ =\ 2
\end{array}$

$\displaystyle \Rightarrow C( 7;\ 2)$

Tam giác ABC cân tại A, nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

AM vuông góc BC, nên vectơ AM vuông góc vectơ BC.

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\overrightarrow{BC} =\ ( 7\ -\ ( -3) ;\ 2\ -\ 4) \ =\ ( 10;\ -2)\
\overrightarrow{AM} =\ ( x_{A} \ -\ 2;\ y_{A} \ -\ 3)
\end{array}$

Vì AM vuông góc BC, tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( x_{A} \ -\ 2) \ .\ 10\ +\ ( y_{A} \ -\ 3) \ .\ ( -2) \ =\ 0\
10x_{A} \ -\ 20\ -\ 2y_{A} \ +\ 6\ =\ 0\
10x_{A} \ -\ 2y_{A} \ =\ 14\
5x_{A} \ -\ y_{A} \ =\ 7\ ( 1)
\end{array}$

Vì tam giác ABC cân tại A, AB = AC.

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AB^{2} \ =\ ( x_{A} \ +\ 3)^{2} +\ ( y_{A} \ -\ 4)^{2}\
AC^{2} \ =\ ( x_{A} \ -\ 7)^{2} \ +\ ( y_{A} \ -\ 2)^{2}\
AB^{2} \ =\ AC^{2}\
( x_{A} \ +\ 3)^{2} \ +\ ( y_{A} \ -\ 4)^{2} \ =\ ( x_{A} \ -\ 7)^{2} \ +\ ( y_{A} -\ 2)^{2}\
x_{A}^{2} +\ 6x_{A} \ +\ 9\ +\ y_{A}^{2} \ -\ 8y_{A} \ +\ 16\ \
=\ x_{A}^{2} -\ 14x_{A} \ +\ 49\ +\ y_{A}^{2} \ -\ 4y_{A} \ +\ 4\
20x_{A} \ -\ 4y_{A} \ =\ 28\
5x_{A} \ -\ y_{A} \ =\ 7\ ( 2)
\end{array}$

$\displaystyle \overrightarrow{AM} =\ ( x_{A} \ -\ 2;\ y_{A} \ -\ 3)$

Vectơ pháp tuyến của AM là vectơ BC = (10; -2) hoặc (5; -1).

Phương trình đường thẳng AM có dạng:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
5( x\ -\ 2) \ -\ 1( y\ -\ 3) \ =\ 0\
5x\ -\ 10\ -\ y\ +\ 3\ =\ 0\
5x\ -\ y\ -\ 7\ =\ 0
\end{array}$

Vậy, phương trình đường thẳng AM là 5x - y - 7 = 0.

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh AHC BAC   ∽ . b) Chứng minh 2 . AB HBBC  . Biết 6 ; 8 AB cmAC cm   . Tính AH. c) Lấy hai điểm ; MN lần lượt thuộc cạnh ; ABAC sa...